LINEALIZACION DE LA DINAMICA DE UN SISTEMA

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMÁ

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

LABORATORIO #1

TEMA

LINEALIZACION DE LA DINAMICA DE UN SISTEMA

MATERIA

TEORIA DE CONTROL

GRUPO

1AA-131(B)

NOMBRE

JOBEL IGLESIAS        

CEDULA

8-889-1627

INSTRUCTOR

ANIBAL VIGIL

FECHA

28/9/2017

1. Objetivo General: Obtener representación lineal y solución de funciones o sistemas no lineales y entender el comportamiento de un sistema lineal izado al ser perturbado alrededor de una solución o punto de operación solución y simulando el sistema con herramientas computacionales.

1. Objetivos específicos:

Luego de realizado esta experiencia el estudiante debe ser capaz de:

• Lineal izar un sistema no lineal alrededor de un punto de operación.

• Resolver y simular utilizando herramientas computacionales.

• Analizar la respuesta del sistema lineal y no lineal.

• Reconocer el rango de validez de la representación lineal del sistema no lineal.

1. Conceptos:

Los sistemas reales exhiben usualmente características no lineales, en consecuencia, la solución de ecuaciones de derivadas parciales con coeficientes variantes en el tiempo, para el análisis y representación de los mismos resulta en extremo laboriosa, con un alto coste computacional para formular extensos procedimientos de solución que no siempre están justificados por el propósito del análisis. Por tanto, la descripción simplificada del comportamiento del sistema es empleada siempre que sea posible.

En general, una de las siguientes opciones se selecciona para el análisis de un sistema no lineal:

1. Reemplazar los elementos no lineales por sus equivalentes lineales.

1. Formular y resolver el modelo no lineal.

1. Lineal izar el sistema de ecuaciones par para pequeñas perturbaciones alrededor de un punto de operación, ver figura 1.

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Figura 1.   Interpretación gráfica del sistema lineal izado alrededor de un punto de operación.

El término "punto de operación" se refiere a la condición de un sistema en estado de equilibrio con unas variables de entradas constantes e iguales a su media promedio en el tiempo. Las variaciones de las entradas deben ser los suficientemente pequeñas para que el error introducido por la linealización sea aceptable. [1].

Representación aproximada de una función no lineal

Sea f (x1, x2, ... xn,) =0 una función no lineal escalar de n variables de estado x. En forma general, esta función no lineal se puede expresar como una representación aproximada lineal alrededor de un punto establecido mediante una expansión en series de Taylor de la siguiente manera. Suponiendo que la función se quiere lineal izar alrededor del punto x0, su expansión en series de Taylor es:

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Algunas funciones no lineales típicas son, por ejemplo:

a) cuando una ecuación contiene un término bilineal, el cual se define como aquel en donde aparecen multiplicándose el vector de la variable de estado y el control

xT Nu.

1. Cuando aparece un término cuadrático, expresado como xTAx el cual describe una representación de elevar al cuadrado una variable de estado vectorial, x in Rn

y donde la ganancia ésta dada por la matriz A. Asimismo, otras funciones no lineales pueden ser, términos donde aparezcan funciones trigonométricas, exponenciales, productos de mes de una variable de estado, entre otras muchas. [2]

Mediante una expansión en series de Taylor se obtendrá un modelo aproximado lineal del sistema no lineal que se considera. Considere el sistema:

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en el cual los puntos de equilibrio dados por (X, U, Y) son constantes.

Se formula la serie de Taylor para el sistema de las ecuaciones (2) y (3), y se obtiene:

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en donde los términos de las derivadas parciales deben ser evaluados en el punto de equilibrio (X, U, Y) y la serie es truncada en los términos de primer orden con (n ≥ 2), (detalles y ejemplos libro de texto Ingeniería de Control Moderna Ogata).

1. Laboratorio de Estudio

Formular y resolver los siguientes casos.

Caso 1.

La altura de un líquido y del nivel de líquido un tanque se muestra en la siguiente figura (2). El modelo matemático se representa por la siguiente ecuación diferencial:

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