LOS ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA José Luis Henostroza Gamboa

MOTIVACIÓN E INTRODUCCIÓN

Frecuentemente nos enfrentamos con errores en el proceso de enseñanza- aprendizaje de la Matemática. Desde simples errores de cálculo, atribuibles a factores emocionales, hasta profundos errores de fundamento. Nuestra experiencia personal en Secundaria, en cursos de Matemática Básica de la Universidad, e incluso en talleres con profesores en ejercicio así lo confirman. Y es que los errores se presentan incluso en textos o Programas Oficiales. Para muestra, consignamos algunos errores frecuentes:

• Identificación del intervalo continuo de números reales   2,3 con el conjunto discreto   2, 1,0,1,2,3 .

• De la propiedad (correcta) "Si xy = 0, entonces x=0 o y=0" se sigue y aplica (erróneamente) por ejemplo que "Si xy=2, entonces x=2 o y=2"

• "- a" denota un número negativo para cualquier "a"

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es un número irracional (inducido este error por tener una expresión decimal periódica de cincuentiún cifras)

De allí nuestro interés en investigar y verter nuestra experiencia docente acerca de este factor del error, para ver cómo podemos enfrentarlo y extraerle algún valor pedagógico. Nuestra reseña comprenderá las siguientes partes:

• Fundamentos filosóficos del error.

• Características fundamentales de los errores.

• Clasificaciones y categorías de errores.

• Sugerencias para el tratamiento de los errores.

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FUNDAMENTOS FILOSÓFICOS DEL ERROR

A lo largo de la historia del desarrollo del conocimiento científico encontramos el error como un factor que ha contribuido al avance de las ciencias; y es que el error es parte integrante del conocimiento humano.

El estudio del conocimiento humano, de la capacidad del hombre para comprender, ha sido siempre una preocupación constante de la Filosofía, en su rama denominada gnoseología. Bajo este punto de vista podemos precisar que el error es atribuible a

... la capacidad de considerar verdaderos conceptos y procedimientos que están deficientemente desarrollados, que incluyen ideas contradictorias o interpretaciones y justificaciones falsas.

Esto se confirma inclusive en la historia de la Matemática, donde podemos encontrar proposiciones que se consideraron como verdaderas y que con el tiempo se demostró su falsedad.

El problema del error está entonces vinculado al problema de la verdad y de la fuente última del conocimiento. La historia de la Filosofía consta en gran parte de los intentos de respuesta a estos problemas. Reseñemos brevemente los más importantes:

• La doctrina de la falibilidad propuesta por Sócrates, según la cual el hombre puede errar individual y colectivamente; pero debe aspirar a la verdad objetiva examinando sus errores mediante la autocrítica y la crítica racional.

• El empirismo que considera la observación como el fundamento último del conocimiento.

• El racionalismo, en que el fundamento último está dado por la intuición intelectual.

• Una especie de fusión entre las anteriores, que afirma las fuentes del conocimiento en el hombre mismo, a través de su percepción e intuición.

• El autoritarismo, que, en ausencia de una verdad, plantea como solución la aceptación de la autoridad

• La interpretación contemporánea de K. Popper. Este filósofo alemán hace un análisis de las posturas anteriores y sostiene que todas ellas están basadas en una teoría de la verdad manifiesta: la verdad es siempre reconocible como verdad; se descubre o se desvela. Entonces Popper reflexiona en cómo puede aparecer el error si la verdad es manifiesta. Llega a la conlusión que la verdad puede encontrarse y perderse fácilmente, y atribuye a los errores un gran poder de supervivencia.

En consecuencia, el problema de la verdad se reduce en Popper a detectar y eliminar el error a través de la crítica permanente de las teorías propias y de otros. Las conclusiones más importantes de Popper serían las siguientes:

a. No hay fuente última de conocimiento. Toda fuente debe ser aceptada como posible y sometida al examen crítico.

b. La tradición es la fuente más importante de conocimiento, pues aprendemos la mayoría de cosas a través del ejemplo, o la lectura, o la transmisión oral. Como consecuencia de (a) esta tradición debe someterse al examen crítico y puede ser modificada o abandonada.

c. La pregunta fundamental no es por las fuentes últimas del conocimiento, sino por la verdad y concordancia con los hechos de nuestras afirmaciones, sometidas éstas a crítica usando toda clase de argumentos.

d. El conocimiento no puede partir de la nada. El conocimiento avanza por modificación del conocimiento anterior.

e. No hay criterio alguno para reconocer la verdad (la claridad, la distinción, la coherencia no aseguran la verdad), pero sí hay criterios para detectar el error y la falsedad (la oscuridad, la confusión, la incoherencia, la inconsistencia sí indican error)

f. El examen crítico de nuestras conjeturas debe ser apoyado por nuestras capacidades de observación, razonamiento, intuición e imaginación.

g. Un problema resuelto plantea nuevos problemas por resolver, con una profundidad proporcional a la profundidad del problema original y de su solución.

CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LOS ERRORES

Mulhern describe las siguientes características:

• Los errores surgen en la clase por lo general de una manera espontánea. Sorprenden al profesor, aunque pueden gestarse desde mucho antes.

• Son persistentes y particulares de cada individuo. Son difíciles de superar porque requieren de una reorganización de los conocimientos en el alumno.

• Hay un predominio de los errores sistemáticos con respecto a los errores por azar u ocasionales. Los errores sistemáticos revelan los procesos mentales que han llevado al alumno a una comprensión equivocada.

• Los alumnos en el momento no toman conciencia del error, pues no cuestionan lo que les parece obvio y no consideran el significado de los conceptos, reglas o símbolos con que trabajan.

• Los errores sistemáticos son en general resultado de concepciones inadecuadas de los fundamentos de la Matemática, reconocibles

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