La Ciencia

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

El método de Arquímedes: Las definiciones y procedimientos formales surgen de la investigación de problemas prácticos.

Ejemplo: Mapa meteorológico.

El mapa ilustra la temperatura máxima T que depende de longitud y latitud. Las curvas del mapa llamadas isotermas, dividen al país en zonas según T.

Ejemplo: Funciones de distribución de probabilidad.

Un grupo de 10 individuos se usa para un estudio biológico. El grupo contiene 3 personas con sangre tipo 0, 4 con tipo A y 3 con tipo B. Se toma una muestra aleatoria de 5 personas.

Sea X= número de personas del tipo 0

Y= número de personas del tipo A

Z= número de personas del tipo B

El número de elementos en el espacio muestral son 10C5=252. Z=5-(X+Y)

X

f(x,y) 0 1 2 3

Y

0

1

2

3

4

X

Y

Ejemplo: Transformación

Función que transforma el cuadrado [01]x[0,1] en el paralelogramo formado por los vectores (1,2),(3,1) y (0,0).

Tomando el hecho que las transformaciones lineales llevan paralelogramos en paralelogramos, en se desea encontrar una transformación lineal que cumpla con.

T(1,0) = (3,1) y T(0,1) = (1,2) esto en base a que {(1,0),(0,1)} y {(3,1),(1,2)} son bases del plano. Entonces a(1,0)+b(0,1)=(1,1) dicha combinación lineal nos lleva a=1, b=1, así

y

Ejemplo: Otras funciones.

, , .

Ejemplo. Matriz de producción.

Un fabricante hace 4 tipos diferentes de productos, cada uno requiere 3 tipos de materiales. Se denota a los 4 productos por y a los materiales por . La siguiente tabla da el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de producto

Necesario para producir una unidad

Número de unidades de materia prima

Si se produce cierto número de los cuatro productos. ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean el número de artículos fabricados de los 4 productos y sean el número de unidades necesarias de los tres materiales. Entonces

, , y la respuesta esta dada por .

La matriz A pude ser vista como la matriz de una transformación lineal .

NOTA HISTORICA.

Mary Fairfax Somerville (1780-1872). Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de funciones de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics of the Heavens, se publicó en 1831. Gran divulgadora de los resultados de Laplace.

Sonya Kovalevsky (1850-1891). Gran parte de la terminología usada para definir limites y continuidad de una función de dos o tres variables la introdujo el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). El enfoque riguroso de Weierstrass a los límites y a otros temas en cálculo le valió la reputación de “padre del análisis moderno”. Weierstrass era un maestro excelente. Una de sus alumnas fue la matemática rusa Sonya, quien aplicó muchas de las técnicas de Weierstrass a problemas de la física matemática y se convirtió en una de las primeras mujeres aceptada como investigadora matemática.

James

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