La Derivada

UNIDAD III

3.1.- DEFINICIÓN DE DERIVADA.

3.2.- INTERPRETACIÓN GEOMETRICA.

3.3.- NOTACIÓN Y CÁLCULO A PARTIR DE LA DEFINICIÓN.

3.4.- LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS.

3.5.- COMO PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA.

3.6.- REGLAS DE DERIVACIÓN.

3.7.- DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS.

3.8.- REGLA DE LA CADENA.

3.9.- DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS.

3.10.- DERIVADAS SUCESIVAS O DE ORDEN SUPERIOR.

3.11.- APLICACIONES A FUNCIONES ECONÓMICAS.

3.1.- DEFINICIÓN DE DERIVADA.

La derivada de una función con respecto a la variable independiente es la razón de cambio instantáneo de la función con respecto a la variable independiente. En otras palabras, la derivada es el límite del cociente de los incrementos de la función y la variable independiente cuando el incremento de la variable tiende a cero.

En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de “y” con respecto a “x” es:

dy Δy

y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim

dx Δ→x Δx

Hay diferentes notaciones para denotar la derivada de “y” con respecto a “x” se ha encontrado que:

dy Lim f(x + Δx) – f(x)

=

dx Δx→0

La derivada así definida es una medida de variación instantánea de la variable dependiente “y” con respecto a la variable independiente “x”.

Es importante observar que la existencia del límite, en todo caso, es una propiedad local de la función en el valor considerado de la variable independiente “x”. si la derivadas existe en un punto x = x0, se dice que la función es derivable en ese punto. Si la función es derivable en todos los puntos de un intervalo a ≤ x ≤ b, entonces se dice que la función es derivable en el intervalo.

3.2.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.

Sea la curva AB de la ecuación y = f(x)

Y B S Siendo:

Q PS una secante que corta a la curva en P y Q

Δy T Θ el ángulo que forma la secante con el eje X

PT una tangente en el punto P

A P y = f(x) α el ángulo que forma la tangente con el eje X

R P(x,y)

α Θ Δx Q(x + Δx, y + Δy) se forma el triángulo en R.

0 M N X

y = f(x) = PM (1)

y + Δy = f(x +Δx) = QN (2)

Restando (1) de (2) queda:

Δy = f(x +Δx) – f(x) = QN – PM = QR

Dividiendo entre Δx se tiene: Si tomamos el límite cuando Δx→0

Δy f(x + Δx) – f(x) QR Δy

= = ; Lim = Lim tg Θ = tg α

Δx Δx PR Δx→0 Δx Δx→0

La razón de los incrementos es el ángulo que forma la secante con el eje x

QR Δy Δy

Pero = tg RPQ → = tg Θ → = m

PR Δx Δx dy

→ = tg α

dx

” Para un punto P dado en la curva, la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto dado P”

3.3.- NOTACIÓN Y CÁLCULO A PARTIR DE LA DEFINICIÓN.

Cuando una variable pasa de un valor numérico a otro, la diferencia entre el valor inicial y el valor final se le llama incremento de la variable.

Notación:

Δx = incremento de x.

Δy = incremento de y.

Δf(x) = incremento de f(x).

Ejemplos:

1.- Sea la recta de ecuación y = f(x)

y

P1

y + Δy Δy

P

Δx P (x,y)

y P1(x + Δx , y + Δy)

x x + Δx x

2.- sea la parábola y = x2, tomando P (-1, 1) como inicial.

x y Δx Δy

-3 9 -2 8

-2 4 -1 3

-1 1 0 0

0 0 1 -1

1 1 2 0

2 4 3 3

3 9 4 8

y

Punto Inicial o

P (-1,1)

0 x

3. 3.1.- LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS.

La derivada es el límite de la razón de los incrementos de x e y. Se le conoce también como el cociente diferencial. Para obtenerla se sigue lo que se conoce como la “Regla de los cuatro pasos”.

Sea la función y = f(x)

1) Se incrementa la función.

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