La Varianza

Varianza

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En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como \sigma^2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.

El término varianza fue acuñado por Ronald Fisher en un artículo de 1918 titulado The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

Índice

1 Definición

1.1 Caso continuo

1.2 Caso discreto

2 Ejemplos

2.1 Distribución exponencial

2.2 Dado perfecto

3 Propiedades de la varianza

4 Varianza muestral

4.1 Propiedades de la varianza muestral

5 Véase también

6 Enlaces externos

Definición

Dada una variable aleatoria con media μ = E(X), se define su varianza, Var(X) (también representada como \scriptstyle\sigma_X^2 o, simplemente σ2), como

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2].\,

Desarrollando la definición anterior, se obtiene la siguiente definición alternativa (y equivalente):

\begin{align} \operatorname{Var}(X) & = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\ & = \operatorname{E}[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\ & = \operatorname{E}( X ^ 2) - 2\mu\operatorname{E}(X) + \mu ^ 2 \\ & =\operatorname{E}( X ^ 2) - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\ & = \operatorname{E} ( X ^ 2) - \mu ^ 2. \end{align}

Si una distribución no tiene esperanza, como ocurre con la de Cauchy, tampoco tiene varianza. Existen otras distribuciones que, aun teniendo esperanza, carecen de varianza. Un ejemplo de ellas es la de Pareto cuando su índice k satisface 1 < k ≤ 2.

Caso continuo

Si la variable aleatoria X es continua con función de densidad f(x), entonces

\operatorname{Var}(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,

donde

\mu = \int x \, f(x) \, dx\,,

y las integrales están definidas sobre el rango de X.

Caso discreto

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