La aplicación del teorema de Вernoulli al estudio de la dinámica de fluidos computacional

FLUIDOS

PROPOSITO

Comprobar el funcionamiento del APPLET mediante el análisis de las fórmulas necesarias (energía cinética, energía potencial y fuerzas exteriores) para demostrar la ecuación de Bernoulli, para ello variamos en 3 casos distintos la altura, diámetro y velocidad, de ésta manera obteníamos los resultados indicados en el APPLET.

MATERIAL DE TRABAJO:

Internet

APPLET

Calculadora

Formulario de fluidos en movimiento

DESARROLLO TEÓRICO

Es la parte de la hidráulica que estudia el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello considera entre otras cosas la velocidad, la presión, el flujo y el gasto del líquido.

En el estudio de la hidrodinámica, el teorema de Bernoulli, que trata de la ley de la conservación de la energía, es de primordial importancia, pues señala que la suma de las energías cinética, potencial y de presión de un líquido en movimiento en un punto determinado es igual a la de otro punto cualquiera.

En el intervalo de tiempo ∆t en la sección A1 (tubería inferior) se mueve hacia a la derecha una longitud:

La masa de fluido desplazada hacia la derecha es:

De forma similar, en la sección A2 (tubería superior) el fluido se desplaza hacia la derecha la longitud:

La masa de fluido desplazada es:

Como el flujo es estacionario la ∆m1 que traviesa la sección A1 en el tiempo ∆t, es igual a la ∆m2 que atraviesa la sección A2 en el mismo intervalo de tiempo, es decir:

Ecuación de Bernoulli

Para cuantificar las transformaciones en las energías que se efectúan cuando fluido se desplaza lo largo de una tubería, se compara la situación inicial con la situación final después de un tiempo ∆t. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior A2 se ha desplazado v2 ∆t y la cara anterior A1 del elemento de fluido se ha desplazado v1∆t hacia la derecha.

El elemento de la masa ∆m es:

Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+∆t. Observamos que el elemento ∆m incrementa su altura, desde la altura h1 a la altura h2

El cambio en la energía potencial es:

El elemento ∆m al cambia su velocidad de v1 a v2,

La variación en la energía cinética es:

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior:

La fuerza F1 desplaza a (∆m) la cantidad ∆x1=v1∆t. La fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido (igual signo).

La fuerza F2 desplaza a (∆m) la cantidad ∆x2=v2 ∆t. La fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección pero sentidos contrarios (signos contrarios).

El trabajo de las fuerzas exteriores es:

El teorema del trabajo-energía afirma que el trabajo generado por fuerzas exteriores al actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas:

Simplificando el término ∆V y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli:

DESARROLLO EXPERIMENTAL

Descripción del experimento:

Para la práctica usamos el APPLET, donde lo primero que hicimos fue usar tres distintos valores de

Radio

Velocidad

Altura

Con el fin de obtener el resultado de suma de fuerzas exteriores, energía potencial y cinética.

Primero que nada sacamos la velocidad de la ecuación de continuidad despejando:

Después sacamos la diferencia de presión:

De ahí calculamos la energía cinética y potencial:

Por último la suma de energías da como resultado el trabajo de fuerzas exteriores:

DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI:

Mediante la ecuación de fuerzas exteriores:

Sustituimos la fuerza exterior por la suma de energías cinética y potencial:

Remplazamos en las energías:

1/2 (ρ∆V)[(V_2 )^2-(V_1 )^2 ]+ρ(∆V)(h_2-h_1 )g=(P_1-P_2)∆V

1/2 ∆V{ρ[(V_2 )^2-(V_1 )^2 ]+ρ(h_2-h_1 )g}=(P_1-P_2)∆V

Se cancelan las ∆V

(∆V 1/2 {ρ[(V_2 )^2-(V_1 )^2 ]+ρ(h_2-h_1 )g})/∆V=(P_1-P_2)

1/2 ρ〖V_2〗^2-1/2 ρ〖V_1〗^2+ρgh_2-ρgh_1=(P_1-P_2)

Resultando así la ecuación de Bernoulli:

〖2P〗_2+ρ〖V_2〗^2+2ρgh_2=2P_1+ρ〖V_1〗^2+2ρgh_1

Caso 1(Tubo horizontal)

Datos:

Radio1= 0.15m

Radio 2= 0.05m

Velocidad1=0.02m/s

Altura=0m

Distancia=0.1m

Primero sacamos velocidad 2

V_2=A_1/A_2 V_1

V_2=(π〖r_1〗^2)/(π〖r_2〗^2 ) V_1=(r_1/r_2 )^2 V_(1 )=(0.15m/0.05m)^2 0.02m/s=0.18m/s

Para calcular diferencia de presión en el caso horizontal se eliminan las alturas:

(ρ〖V_2〗^2-ρ〖V_1〗^2)/2=(P_1-P_2)

(P_1-P_2 )=(ρ〖V_2〗^2-ρ〖V_1〗^2)/2=(1000 Kg/m^3 〖(0.18m/s)〗^2-1000 Kg/m^3 〖(0.02m/s)〗^2)/2

(P_1-P_2 ) = 16 Pa

Calcular energía potencial:

∆E_P=ρ(∆V)(h_2-h_1 )g=1000Kg/m^3 [3.1416(0.15m)^2 (0.1m)](0m-0m)9.8m/s^2=0 J

Donde:

∆V=π〖r_1〗^2 x_1

Calcular energía cinética:

∆E_c=1/2 (ρ∆V){(〖v_2)〗^2-〖(v_1)〗^2 }=1/2 (1000Kg/m^3)(3.1416) (0.15m)^2 (0.1m){(〖0.18m/s)〗^2-〖(0.02m/s)〗^2 }=.1130976 J

Trabajo de fuerzas exteriores:

W_ext=∆E_p+∆E_c=0 J+ .1130976 J=.1130976 J

El valor de la velocidad en la sección 2 se obtiene aplicando la ecuación de continuidad. Si el radio de la sección 1 es el triple que el radio de 2, la rapidez en la sección 2 es nueve veces mayor que en el izquierdo, es decir, mientras que la sección anterior A1 del elemento de fluido se desplaza10 cm, la sección posterior A2 se desplaza 90, esto se explica matemáticamente así:

.15 m=.05 m

r_1=3r_2

v_2=(〖(3r_2)/r_2 )〗^2 v_1=9v_1

9∆x_1= ∆x_2

Caso 2 (tubo hacia arriba)

Datos:

Radio1= 0.12m

Radio 2= 0.05m

Velocidad1=0.10m/s

Altura 1=0m

Altura 2= 0.30m

Distancia=0.20m

Primero sacamos velocidad 2

V_2=A_1/A_2 V_1

V_2=(π〖r_1〗^2)/(π〖r_2〗^2 ) V_1=(r_1/r_2 )^2 V_(1 )=(0.12m/0.05m)^2 0.10m/s=0.576m/s

Para calcular diferencia de presión en el caso horizontal se eliminan las alturas:

(P_1-P_2

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