La determinación de la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente De 20

¿Podrías demostrar que la velocidad del sonido en aire a temperatura ambiente de 20 ̊C es?

La velocidad del sonido en un gas obedece a la fórmula

v = √ (γ P / ρ)

donde √ es el símbolo de la raíz cuadrada,

γ = índice adiabático del gas

P = presión

ρ = densidad del gas

En el caso del aire se tiene, a 0º C (273 K)

γ = 1.4

P = 1 atmósfera = 1,013 * 10^5 Pa

ρ = 1,293 kg /m³

De lo anterior resulta la velocidad a 0º C:

v(0º C) = √ (1,4*1,013*10⁵ / 1,293) = 331,184 m/s

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Velocidad a 20ºC

a) Si conocemos la densidad del aire a 20ºC podemos calcular directamente la velocidad a 20ºC

ρ(20ºC) = 1,204 kg /m³ ===>

v(20º C) = √ (1,4*1,013*10⁵ / 1,204) = 343,206 m/s

b) Si no conocemos la densidad a 20ºC, pordemos deducirla:

De la ecuación de los gases ideales:

P V = n R T = (m/M) R T

con ρ = m / V

se tendrá

v = √(γ P / ρ) =√( γ RT / M) = √( γ R (To + t) / M) =

desarrollando los primeros términos por el binomio de Newton:

≈ √( γ R To / M) + (1/2) √( γ R / M To) * t

o sea

v (t) = 331,184 + 0,61 t =>

≫ v(20) = 331,184 + 0,61*20 = 343,38 m/s

(To = 273,15 K, γ = 1,4, R = 8,314 J /(k-mol), M = 28,95*10^(-3) kg/mol )

¿Cómo es esta velocidad en relación con la velocidad de los atletas olímpicos? ¿Como es esta velocidad en relación en los autos de Formula 1?

Un atleta puede correr cerca de los 36 km/h, pero la velocidad del sonido en km/h es 3.6 veces su velocidad en m/s, o sea del orden de 1200 km/h. No es necesario hacer cuentas finas para darse cuenta que supera al atleta ampliamente.

Un auto de fórmula 1 es 10 veces más veloz que un atleta (desconozco las velocidades reales logradas últimamente, pero rondan los 350 km/h aunque hace unos años en Monza se superó eso) pero de nuevo eso no le alcanza para aproximarse a la del sonido, ya que sigue siendo 3.5 veces inferior a ella.

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