La distribución de Poisson

DISTRIBUCION POISSON

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta, da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida.

Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos.

La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés.

Media y varianza de la distribución de Poisson

Supongamos que llevamos a cabo un experimento de Poisson, en el que el número promedio de éxitos dentro de un rango determinado se toma como λ. En la distribución de Poisson, la media de la distribución está representada por λ y e es constante, que es aproximadamente igual a 2,71828. Entonces, la probabilidad de Poisson es:

P(x, λ ) =(e– λ λx)/x!

En la distribución de Poisson, la media se representa como E(X) = λ.

Para una distribución de Poisson, la media y la varianza son iguales. Significa que E(X) = V(X)

Dónde, V(X) es la varianza.

Ejemplo 1:

Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ tal que P (X = 1) = (0,2) P (X = 2). Encuentre P (X = 0).

Solución:

Para la distribución de Poisson, la función de probabilidad se define como:

P (X =x) = (e– λ λx)/x!, donde λ es un parámetro.

Dado que, P (x = 1) = (0.2) P (X = 2)

(e– λ λ1)/1! = (0,2)(e– λ λ2)/2!

⇒λ = λ2/ 10

⇒λ = 10

Ahora, sustituyendo λ = 10, en la fórmula obtenemos:

P (X =0 ) = (e– λ λ0)/0!

P (X =0) = e-10 = 0,0000454

Por tanto, P (X= 0) = 0,0000454

Ejemplo 2:

Las llamadas telefónicas llegan a una central según el proceso de Poisson a una velocidad λ= 2/min. Calcule la probabilidad de que se reciban exactamente dos llamadas durante cada uno de los primeros 5 minutos de la hora.

Solución:

Supongamos que "N" es el número de llamadas recibidas durante un período de 1 minuto.

Por lo tanto,

P(N= 2) = (e-2. 22)/2!

P(N=2) = 2e-2.

Ahora, “M” será el número de minutos entre los 5 minutos considerados, durante los cuales se recibirán exactamente 2 llamadas. Así, “M” sigue una distribución binomial con parámetros n=5 y p= 2e-2.

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