Distribucion De Poisson

Distribución de Poisson

La distribución Poisson es una distribución de probabilidad discreta, porque se forma contando algo. La distribución de Poisson se puede considerar como una lógica de probabilidad deductiva, en forma análoga a la distribución binomial, porque en el cálculo de las probabilidades se va del total a la parte. Esto es, porque siempre conocemos la probabilidad del espacio muestral, la cual siempre es igual a 1 (el total o conjunto).

La distribución de Poisson también puede ser enfocada como una forma limitante de la distribución binomial, es decir, como una aproximación de la binomial, esto es, cuando los cálculos binomiales son muy largos y tediosos. Pero, más importante todavía, la distribución de Poisson, también puede ser enfocada dentro de sus propios términos o derechos. La distribución de Poisson tiene aplicaciones a una gran variedad de procesos físicos; como resultado de esto, en la misma forma que la distribución normal y la binomial, la distribución de Poisson es una de las distribuciones más usadas.

La distribución de Poisson aplica a la ocurrencia de algún evento aleatorio X, sobre un intervalo especificado, donde el intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen, etc. En cuanto a las diferencias entre la distribución de Poisson y la distribución binomial, la distribución binomial es afectada por el tamaño de la muestra n y la probabilidad p, mientras que, la distribución de Poisson es afectada por el promedio µ. Además, la distribución binomial tiene valores posibles de x = 0, 1, 2, 3,..., n, mientras que la Poisson tiene valores posibles de x = 0, 1, 2, 3,....ad infinitum, es decir sin ningún límite superior.

Aplicaciones de la distribución de Poisson

1. Las aplicaciones de la distribución pueden ser enfocadas a estudiar el número de tóxicos encontrados en un volumen de aire emitido por una industria (contaminación del aire). Otras aplicaciones son en la meteorología, para encontrar la frecuencia imprevista de tempestades, ciclones, tornados, granizadas, inundaciones, fuegos forestales, etc., en ciertas regiones del mundo.

2. También se usa en biología para contar el número de bacterias en un plato de prueba. Se usa también en la física para contar el número de partículas emitidas de una sustancia radiactiva, como por ejemplo, cuando una sustancia radiactiva emite partículas alfa, beta o gamma. Aquí las partículas son emitidas, al azar, sobre un largo periodo de tiempo, y la ocurrencia de una emisión es independiente de otras emisiones.

3. Igualmente, la distribución Poisson se usa para el control estadístico de calidad o para contar el número de ítems defectuosos (cuando es difícil usar la distribución binomial).

4. Otras aplicaciones importantes de la distribución de Poisson son para encontrar el número de accidentes, entre los trabajadores, como por ejemplo, en una industria, en estudios de higiene industrial y seguridad.

5. Además, otras aplicaciones son las probabilidades de las demandas de un producto y demandas de servicios. La distribución de Poisson también se usa para encontrar la probabilidad de que habrá un número específico de reclamos de accidentes de autos, en una compañía de seguros durante un periodo de tiempo. Esta distribución es igualmente útil para encontrar la probabilidad de un número específico de ocurrencias que toman lugar por un tiempo dado o en una región específica.

6. Análogamente, un proceso de producción continua, que fabrica un cierto objeto en grandes cantidades, donde un objeto defectuoso ocurre, aleatoriamente, con probabilidad pequeña e independiente, también puede ser considerado un proceso Poisson.

7. Los accidentes en una fábrica grande pueden ocurrir, al azar, con una pequeña probabilidad y ser independientes de cada uno de los otros sobre un tiempo continuo, en cuyo caso, este proceso sigue a la distribución Poisson. Además, esta distribución aplica para encontrar el número de accidentes en un determinado tramo carretero durante un periodo digamos de 3 meses.

8. Asimismo, la distribución de Poisson se usa para saber el patrón de llegadas de aviones a un aeropuerto; el número de defectos sobre la superficie de una mesa; el número de errores de imprenta de un libro, etc.

Condiciones que se requieren para aplicar la distribución de Poisson

1. Un experimento consiste en contar el número de veces de que un cierto evento ocurra (x), durante una unidad de tiempo o espacio.

2. La probabilidad de que un evento ocurra es la misma para cada unidad de tiempo o espacio.

3. El número de eventos que ocurran en una unidad de tiempo o espacio es independiente del número de eventos que ocurren en las otras susodichas unidades.

4. Teóricamente, un número infinito de ocurrencias del evento deben ser posibles en el intervalo. Funciones probabilísticas de la distribución Poisson

Cuando la distribución de Poisson es apropiada, la probabilidad de observar exactamente x número de ocurrencias por unidad de medición (horas, minutos, centímetros cúbicos, páginas, etc.), es decir, el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región específica.

De acuerdo a la fórmula de arriba, la distribución de Poisson tiene un solo parámetro simbolizado por la letra griega µ. Si conocemos este valor del promedio µ podemos escribir la distribución de probabilidad completa. Este parámetro µ puede ser interpretado como el promedio de las ocurrencias, por intervalo de tiempo o espacio que caracteriza el proceso generado por la distribución de Poisson.

Otra manera de ver la distribución de Poisson es usando la función dada abajo:

p(x;λ) = (λ)x - µ λ

x!

Donde:

λ = np es una constante dada. Es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Aquí, debido a que λ es positiva para todos los posibles valores de X, entonces:

∞ Σ p(x; λ) = 1, lo cual es la consecuencia del desarrollo de λ en la serie infinita de x=0 dada en todos los textos de cálculo, la cual se expresa como:

λ = 1 + λ + λ2/2! + λ3/3! + … + = Σ λx/x!

x=0 Esta ecuación demuestra que la función p(x;λ) satisface la segunda condición necesaria para especificar una función de probabilidad de masa .

µ = np la cual se puede interpretar como el número promedio de éxitos por el tamaño

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