Distribucion De Poisson

DISTRIBUCION DE POISSON

(Siméon Denis Poisson )

Puede utilizarse la distribución Pisson para determinar la probabilidad de que ocurra un número designado de eventos, cuando estos ocurren en un continuo tiempo o espacio. A un proceso como este se le denomina proceso Pisson; es similar al proceso Bernoulli, excepto en que los eventos ocurren en un continuo intervalo de tiempo en vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas. Un ejemplo es la entrada de llamadas en un conmutador telefónico. Al igual que en el caso Bernoulli, se supone que los eventos son independientes y que el proceso es estacionario.

Si x es el número de ocurrencias de un evento aleatorio en un intervalo de tiempo o espacio, la probabilidad de que ocurra x esta dado por:

℮- α ( α )x

P( x ) = -------------- =

x !

Donde: x = 0,1,2,3,…; es el número de ocurrencias de un evento.

α = Es el parámetro de la distribución y es el número promedio de

Ocurrencias del evento aleatorio en el intervalo.

℮ = Es la constante 2.7183

Puede demostrarse también que:

1.- P( x ) ≥ 0

2.- Σ P( x ) = 1

De modo que la distribución de Poisson satisface los requerimientos para la distribución de probabilidad, además cumple con las siguientes proposiciones:

1.- La ocurrencia de los eventos son independientes.

2.- Teóricamente debe ser posible un número infinito de ocurrencias del evento en el

intervalo.

3.- Una particularidad de la distribución es que la varianza y la media son iguales.

La distribución Poisson tiene muchas aplicaciones, así mismo mencionáremos que este tipo de distribución se utiliza cuando se tienen probabilidades grandes u sucesos o eventos pequeños.

Ejemplos.

1.- El administrador de un hospital a observado que las admisiones de emergencia

durante un periodo de varios años se distribuyen de acuerdo a la ley de acuerdo a

la ley de Pisson. Los registros del hospital revelan que durante este periodo han

sido de un promedio de 3 por día. Si el administrador del hospital está en lo

cierto, hallar la probabilidad de que:

En un día dado ocurran exactamente dos admisiones.

℮ = 2.7183 ( 2.7183 )-3 ( 3 )2

α = 3 P( 2 ) = -------------------- = 0.2240373146

x = 2 2!

En un día particular no ocurra admisión alguna.

x = 0 ( 2.7183 )-3 ( 3 )0

P( 0 ) = -------------------- = 0.049786069

0!

En un día particular se admiten 3 ó 4 casos

x = 3 ó 4 (2.7183)-3 ( 3 )3

P( 3 ) = -------------------- = 0.2240373145

3!

( 2.7183 )-3 ( 3 )4

P( 4 ) = -------------------- = 0.1680279859

4! --------------------

P( 3 ó 4) = 0.3920653004

2.- El 10% de los tornillos producidos por una fabrica resultan defectuosos. Hallar la

la probabilidad de que en una muestra de 10 tornillos seleccionados

aleatoriamente, exactamente dos están defectuosos.

Empleando la distribución binomial

p = 0.1

q = 0.9 P( 2 ) = 10C2 • ( 0.1 )2 • ( 0.9 )8 = 0.1937102445

n = 10

x = 2

Empleando la distribución Poisson

℮ = 2.7183

α = n • p = ( 10 ) ( 0.1 ) = 1 ( 2.7183 )-1 ( 1 )2

x = 2 P( 2 ) = -------------------- = 0.183938491

4!

3.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un

determinado suero es 0.001; determinar la probabilidad de que de un total de 200

individuos.

Exactamente 3 tengan reacción

℮ = 2.7183

α = n • p = ( 200 ) ( 0.001 ) = 0.2 ( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )3

x = 3 P( 3 ) = ----------------------- = 0.001091639545

3!

Más de dos individuos tengan la reacción

P( x ≥ 3 )

( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )0

P(x ≥ 3 ) = P( 0 ) = ----------------------- = 0.8187296585

0!

( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )1

P( 1 ) = ----------------------- = 0.1637459307

1!

( 2.7183 )- 0.2 ( 0.2 )2

P( 2 ) = ----------------------- = 0..0163745931

2! -----------------

P(x ≥ 3 ) = 0.9988501832

P(x ≥ 3 ) = 1 - 0.9988501832 = 0.0011498168

4.- Se sabe que el número promedio de accidentes en una sección dada de una

autopista es de 3 por semana. ¿Cuál es la probabilidad de que:

No ocurra accidentes durante una semana?

℮ = 2.7183

α = 3 ( 2.7183 )- 3 ( 3 )0

...