DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy Pequeña.

Proceso experimental del que se puede hacer derivar

Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características

Se observa la realización de hechos de cierto tipo durante un cierto periodo de tiempo o a lo largo de un espacio de observación

Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o no de una manera no determinística.

La probabilidad de que se produzcan un número x de éxitos en un intervalo de amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, sí de su amplitud)

La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo infinitésimo es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo.

La probabilidad de que se produzcan 2 o más hechos en un intervalo infinitésimo es un infinitésimo de orden superior a dos.

En consecuencia, en un intervalo infinitésimo podrán producirse O ó 1 hecho pero nunca más de uno

Si en estas circunstancias aleatorizados de forma que la variable aleatoria X signifique o designe el "número de hechos que se producen en un intervalo de tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribución de parámetro  . Así :

El parámetro de la distribución es, en principio, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo. Se le suele designar como parámetro de intensidad , aunque más tarde veremos que se corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución); y que también coincide con la varianza de la distribución.

Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto de los números naturales, incluidos el cero:

Estimación por intervalos

Con la estimación puntual se estima el valor del parámetro poblacional desconocido, a partir de una muestra. Para cada muestra se tendrá un valor que estima el parámetro. Esta estimación no es muy útil si desconocemos el grado de aproximación de la estimación al parámetro. Es deseable conocer un método que nos permita saber donde se encuentra el parámetro con un cierto grado de certeza. Este método va a ser la determinación de un intervalo donde estará el parámetro con un nivel de confianza.

El intervalo se contruye a partir de una muestra, entonces, para cada muestra se tendrá un intervalo distinto. Llamaremos a al error que se permite al dar el intervalo y el nivel de confianza será 1- . Un intervalo tiene un nivel de confianza 1- cuando el 100•(1- )% de los intervalos que se construyen para el parámetro lo contienen.

Es deseable para un intervalo de confianza que tenga la menor amplitud posible, esta amplitud dependerá de:

• El tamaño de la muestra, mientras mayor sea el tamaño mejor será la estimación, aunque se incurre en un aumento de costes

• Nivel de confianza, si se pide mayor nivel de confianza, el intervalo será mayor.

Ejemplo

Hallemos un intervalo de confianza, del 95%, de µ, número medio de microgramos de partículas en suspensión por metro cúbico de aire, sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño 5 dada en la que se ha calculado que una estimación puntual de µ es . Supongamos que por experiencias anteriores se sabe que , número de microgramos de partículas en suspensión por metro cúbico de aire, está normalmente distribuido, con varianza . Queremos extender la estimación puntual a un intervalo, de forma talque podamos tener una confianza del 95 % de que el intervalo obtenido contenga al verdadero valor de µ . Es decir, queremos determinar y de forma que Así:

Para hacerlo así, consideremos la partición de la curva normal tipificada dibujada en la siguiente figura:

Partición de Z para obtener un intervalo de confianza de µ del 95 %

Puede verse que

En este caso, , por tanto, podemos concluir que

Veamos que los límites superior e inferior del intervalo de confianza del 95% son:

Puesto que se supone que es 9, y y , son estadísticos. Sus valores observados por la muestra son

Puesto que este intervalo se obtuvo usando un procedimiento que, en muestreos repetidos, contendrá a la media en un 95% de confianza de que µ esté verdaderamente entre 58.37y 63.63:

58.37 = 61 - 2.63 61 61 +2.63 = 63.63

Dos observaciones son evidentes a partir de esta fórmula:

La primera es que cada intervalo de confianza está centrado en

La segunda es que la amplitud del intervalo depende de tres factores :

• La confianza deseada.

• La desviación estándar

• El tamaño muestral

Intervalo de Confianza

En el contexto de estimar un

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