Distribucion De Poisson

La distribución de Poisson

· Introducción

· La distribución de Poisson

· Propiedades

· Ejemplos

· Aproximación gaussiana

Técnicas experimentales de Física General 2/9

Introducción:

Desintegraciones radiactivas

Se sabe que una fuente radiactiva emite partículas alfa a un

ritmo de 1.5 por minuto. ¿Si medimos el número de

partículas alfa emitidas en dos minutos ¿ Cuál es el resultado

promedio esperado?¿Cuál es la probabilidad de observar

x = 0,1,2,3,4 ? ¿y la probabilidad de que x ³ 5 ?

Experimentos de contar sucesos

Distribución de Poisson

( )

!

x

P x e

x

m

m

= m -

Si en promedio esperamos m sucesos, la probabilidad de

obtener x, viene dada por Pm (x)

m = Número medio de sucesos esperados

Técnicas experimentales de Física General 3/9

Probabilidad de observar x sucesos

cuando el promedio es

m =1.5´ 2min = 3

3

3

3

( )

!

x

P x e

x

= -

Sucesos observados x 0 1 2 3 4

Probabilidad 5% 14% 22% 22% 17%

Pr ob(x ³ 5) =100%- (5+15 + 22 + 22 +17)% =19%

Distribución de Poisson para un valor medio de m = 3

Técnicas experimentales de Física General 4/9

La distribución de Poisson

l = Prob. por unidad de intervalo de ocurrir un suceso

lt = Sucesos en un tiempo t

l dt = Prob. de que ocurra un suceso en dt

(1-l dt) = Prob. de que no ocurra nada en dt

Hipótesis fundamental

La probabilidad l es tan pequeña que en el intervalo dt no

pueden producirse dos o más sucesos

¿Cuál es la probabilidad de que ocurran x sucesos en un

intervalo de t + dt?

1 ( ) ( )(1 ) ( ) x x x p t dt p t l dt p t l dt - + = - +

[ ] 1

x

x x

dp

p p

dt

l - = -

( )

! !

x x

t t

x

t

p e e

x x

l m l m l - = m - = = ¾¾¾® =

Técnicas experimentales de Física General 5/9

Propiedades

☛ Condición de normalización

0

( ) 1

x

P x m

¥

=

Σ =

☛Valor medio

0 0

( )

!

x

x x

x xP x x e

x

m

m

m m

¥ ¥

-

= =

=Σ = Σ =

☛Desviación típica

2 2

0

( ) ( )

x

x x P x m s m

s m

¥

=

= - =

=

Σ

Cuando realizamos un experimento de contar sucesos

y obtenemos un valor x , el resultado con su error es:

...