DISTRIBUCION DE POISSON

3.2DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en1838 en su trabajo Recherchessur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre laprobabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).Esta variable aleatoria discreta se usa con frecuencia para estimar la cantidad de sucesos uocurrencias en determinado intervalo de tiempo o espacio. Por ejemplo la variable aleatoria deinterés podría ser la cantidad de llegadas a un auto lavado en una hora, la cantidad dereparaciones que necesitan 10 millas de carretera o la cantidad de fugas en 100 millas deoleoducto. Si se satisfacen las dos propiedades siguientes, la cantidad de ocurrencias es unavariable aleatoria que se describe con la función de probabilidad de Poisson

3.2.1 CONCEPTO

Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

3.2.2PROPIEDADES GENERALES, MEDIA, VARIANZA, DESVIACION ESTANDAR.

La función de masa de la distribución de Poisson es

Donde:

• k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda

precisamente k veces).

• x es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado.

• Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales ג. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en ג cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado de la interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el

n

-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño

n

.La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un  no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que  (los símbolos representan la función parte entera). Cuando es un entero positivo, las modas son X y X  1.La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado x es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles. La media de la distribución de Poisson es c y la varianza es también c, como se verá en seguida.

De modo similar

²

² Por lo que

²

²

La función generatriz de momento es

La utilidad de esta función generatriz se ilustra en el siguiente teorema.

...