Distribución De Poisson

La distribución de Poisson

1. Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una centralita telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, el número de accidentes en un cruce, etc. Todos estos ejemplos tienen un punto en común: todos ellos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no negativos enteros (0,1,2,3,4…). El número de pacientes que llegan al ambulatorio en un intervalo de 15 minutos puede ser igual, a 0, 1, 2 3…

2. Sigamos con el ejemplo del ambulatorio. La llegada de pacientes se puede caracterizar de la forma siguiente:

1. El número medio de llegadas de los pacientes para cada intervalo de 15 minutos puede ser obtenido a través de datos históricos.

2. Si dividimos el intervalo de 15 minutos en intervalos mucho más pequeños (por ejemplo, 1 segundo), podemos afirmar que:

2.1 La probabilidad de que exactamente un único paciente llegue al ambulatorio por segundo es tiene un valor muy reducido y es constante para cada intervalo de 1 segundo.

2.2 La probabilidad de que 2 o más pacientes lleguen dentro del intervalo de 1 segundo es tan pequeña que podemos decir que es igual a 0.

2.3 El número de pacientes que llegan durante el intervalo de 1 segundo es independiente de donde se sitúa este intervalo dentro del periodo de 15 minutos.

2.4 El número de pacientes que llegan en un intervalo de 1 segundo no depende las llegadas que han sucedido en otro intervalo de 1 segundo

Si al analizar un proceso de llegada este cumple estas condiciones, podemos afirmar que su distribución es de Poisson.

La fórmula para obtener la probabilidad de que un evento ocurra (que lleguen 3 pacientes, por ejemplo) es la siguiente:

En donde x representa en número de llegadas, ë la tasa media de llegadas y P(x) la probabilidad de que el número de llegadas sea igual a x.

2.5.2 La distribución Exponencial

Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es discreta, la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero.

Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos, más específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Ejemplos típicos de esta situación son el tiempo que un médico dedica a una exploración, el tiempo de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a una urgencia.

El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente, ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribuciones es que no tienen “edad”, o en otras palabras, “memoria”. Por ejemplo, supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía era mucho más simple que la del anterior.

La función de densidad de la distribución exponencial es la siguiente:

En donde t representa el tiempo de servicio y ì la tasa media de servicio (pacientes servidos por unidad de tiempo). La densidad exponencial se presenta en Figura 5.4. En general nos interesará encontrar P(T < t), la probabilidad de que el tiempo de servicio T sea inferior o igual a un valor específico t. Este valor es igual al área por debajo de la función de densidad. 144

2.5.2.1 Figura 5.4: Distribución Exponencial

Si, por ejemplo, queremos saber cual es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de 2 o menos horas cuando el tiempo medio es de 3 horas (una tasa de servicio de 1/3), podemos aplicar la fórmula siguiente:

En este caso, P(T 2) = 0,486, casi un 50% de probabilidad.

Modelo de Colas Simple: Llegadas en Poisson y Tiempos de Servicio Exponencialmente Distribuidos.

El modelo que presentaremos a continuación tiene que cumplir las condiciones siguientes:

1. El número de legadas por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson

2. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial

3. La disciplina de la cola es de tipo FIFO

4. La población potencial es infinita

5. Existe un único canal de servicio

6. La tasa media de llegadas es menor que la tasa media del servicio

7. El tamaño potencial de la cola es infinito

3. Si estas condiciones se cumplen y si conocemos la tasa media de llegada ë, y la tasa media de servicio ì, las ecuaciones para obtener valores de las medidas descritas anteriormente son:

Un ejemplo

Consideremos el caso de un gran laboratorio farmacéutico que tiene en su almacén un único estacionamiento de carga de que sirve a todas las farmacias de una región, y existe un único

trabajador para buscar los medicamentos del pedido de cada furgoneta y cargarlos en ella. Se observa que de vez en cuando las furgonetas de transporte se acumulan en el estacionamiento formando cola, y de vez en cuando el trabajador está ocioso. Después de un estudio del sistema observamos que éste cumple las condiciones expuestas anteriormente. Después de examinar las llegadas de las camionetas durante varias semanas, se determina que la tasa media de llegada es de 4 camionetas por hora, y que la tasa de servicio es de 6 camionetas por hora. Los gestores del almacén están considerando el añadir un trabajador adicional, o incluso dos de ellos, para aumentar la tasa de servicio. El problema consiste en evaluar estas opciones diferentes.

Si se añade un trabajador, el sistema seguirá siendo de cola simple, porque una única camioneta puede cargarse a la vez. Si usamos dos trabajadores, la tasa de servicio será igual a 12. Si utilizamos tres trabajadores, la tasa de servicio será igual a 18.

En el Cuadro se han utilizado las ecuaciones expuestas anteriormente para obtener las medidas de eficiencia

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