Distribución Binomial Y Poisson

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:

- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o fracaso.

- La obtención de ´éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones.

- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.

Veámoslo con un ejemplo:

Tiramos un dado 7 veces y contamos el número de cincos que obtenemos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cincos?

Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es nuestro éxito?.

Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.

El fracaso, por tanto, ser ‘a no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.

Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” =⇒ p (E) = 1/6

Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒ p (F) =5/6

Para calcular la probabilidad que nos piden, fijémonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿de cuantas maneras pueden darse estas posibilidades?.

Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF

Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cuantas maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 ´éxitos. Recordando las técnicas combinatorias, este problema se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:

P_7^3,4=7!/(3!*4!)= 35 Formas

Y por tanto, como p(E) =1/6y tengo 3 éxitos y p(F) =5/6 y tengo 4 fracasos:

p(tener 3 éxitos y 4 fracasos) = 35 x 1/6 x 1/6 x 1/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 = 0.0781

Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de éxito 1/6, la probabilidad de obtener 3 éxitos es 0’0781, y lo expresaríamos:

Bin (7;1/6) , entonces p(X = 3) =0. 0781

Como repetir este proceso sería bastante penoso en la mayoría de los casos, lo mejor es recurrir a la siguiente formula que expresa la probabilidad de obtener cierto número de éxitos en una distribución

Definición de distribución binomial:

Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parámetros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por:

p(X = k) = (■(n@k))∙ p^k ∙ q^((n-k) )

Nota:

Observar que las probabilidades de éxito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p = 1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

La distribución binomial se encuentra tabulada por lo que es fácil calcular probabilidades sin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usar las tablas de la distribución binomial es necesario conocer:

- El número de veces que se realiza el experimento (n).

- La probabilidad de éxito (p).

- El número de éxitos (k).

La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0’01 hasta 0’5).

El número de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y el número de éxitos a su lado.

Es posible que nos pidan no solo la probabilidad de que ocurran un cierto número de éxitos en concreto, sino que ocurran como mucho “k” ´éxitos o preguntas similares.

EJERCICIOS

Ejercicio 1:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2¿Y cómo máximo 2?

Ejercicio 2:

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña.

Proceso experimental del que se puede hacer derivar

Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación

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