Distribucion Binomial

Distribución Binomial

La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:

- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos s´olo la posibilidad de ´exito o

fracaso.

- La obtenci´on de ´exito o fracaso en cada ocasi´on es independiente de la obtenci´on de ´exito o

fracaso en las dem´as ocasiones.

- La probabilidad de obtener ´exito o fracaso siempre es la misma en cada ocasi´on.

Ve´amoslo con un ejemplo

Tiramos un dado 7 veces y contamos el n´umero de cincos que obtenemos. ¿Cu´al es la probabilidad

de obtener tres cincos?.

Este es un t´ıpico ejemplo de distribución binomio, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento

de lanzar un dado. ¿Cu´al es nuestro ´exito?.

Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.

El fracaso, por tanto, ser´a no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.

Por tanto, Exito = E = “sacar un 5” = ´

⇒ p(E) = 1/6

Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒ p(F) = 5/6

Para calcular la probabilidad que nos piden, fijemonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y

por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿de cuántas maneras pueden darse estas posibilidades?.

Podr´ıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF

Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cuántas maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 ´exitos. Recordando las t´ecnicas combinatorias, este problema

se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:

P3,47=7!3!• 4! =7 • 6 • 53 • 2 • 1= 35formas

Y por tanto, como p(E) = 16

y tengo 3 ´exitos y p(F) = 56

y tengo 4 fracasos:

p(tener 3 ´exitos y 4 fracasos) = 35 •

16•16•16•56•56•56•56= 00781

Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de ´exito

16,la probabilidad de obtener 3 ´exitos es 0’0781, y lo expresar´ıamos:

Bin7;16, entonces p(X = 3) = 00781

Como repetir este proceso ser´ıa bastante penoso en la mayor´ıa de los casos, lo mejor es recurrir a lasiguiente f´ormula que expresa la probabilidad de obtener cierto n´umero de ´exitos en una distribuci´on

binomial:

Definici´on de distribuci´on binomial:

Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´exito, E, con probabilidad p y

fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribuci´on binomial de

par´ametros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´exitos

viene dada por:

p(X = k) =

n

k

• p

k

• q

...