Área De Una Distribución Binomial Con Intervalo De Valores Z

Área de una distribución binomial con intervalo de valores Z

Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar.

En esta tabla, el valor z está derivado de la fórmula:

z = (x - m ) / s

en la que:

• x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa

• m = media de la distribución de la variable aleatoria

• s = desviación estándar de la distribución

• z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución.

¿Por qué utilizamos z en lugar del número de desviaciones estándar? Las variables aleatorias distribuidas normalmente tienen unidades diferentes de medición: dólares, pulgadas, partes de millón, kilogramos, segundos, etc. Como vamos a utilizar una tabla, hablamos en términos de unidades estándar (que en realidad significa desviaciones estándar), y denotamos a éstas con el símbolo z.

La tabla de distribución de probabilidad normal estándar da los valores de únicamente la mitad del área bajo la curva normal, empezando con 0,0 en la media. Como la distribución normal de probabilidad es simétrica, los valores verdaderos para una mitad de la curva son verdaderos para la otra.

La distribución normal estándar

El área bajo la curva normal y sobre el eje x es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria x tome un valor dentro de cierto intervalo. Para medir esta área es necesario calcular la integral de la función de la curva normal para un intervalo de valores. Para evitar la dificultad de resolver integrales es necesario tabular las áreas que corresponden a cada valor de x. Como el número de distribuciones normales es ilimitado sería una tarea sin fin intentar establecer tablas para cada combinación de y. Afortunadamente, un miembro de la familia de las distribuciones normales puede ser usado en todos los problemas donde la distribución normal es aplicable, esta es la distribución normal con media cero y desviación estándar 1, la cual es llamada distribución normal estándar.

Cada distribución normal deberá estandarizarse, es decir, transformarse a una distribución normal estándar, utilizando un valor z, o variable aleatoria estándar.

Valor Z. Distancia entre un valor seleccionado, denominado X, y la media de la distribución, en unidades de una desviación estándar.

En términos de fórmula:

z = x – µ

σ

Gracias a esta fórmula podemos transformar cualquier distribución normal a la distribución normal estándar.

Áreas bajo la curva normal

Si se quiere saber la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores dentro de determinado rango, se necesitaría calcular el área bajo la curva, resolviendo la integral de la función para ese rango de valores.

Una característica que tiene cualquier distribución normal es que el área bajo la curva, que representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome ciertos valores, se distribuye en la misma proporción.

Para facilitar los cálculos se tabularon las áreas bajo la curva normal que se encuentran a la derecha de algunos de los valores Z, de esta forma ya no es necesario resolver integrales, solo se necesita transformar la distribución normal de interés en una distribución normal estándar mediante la fórmula, y el área a la derecha del valor z será el mismo que el área a la derecha de x.

Ejemplo

Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si se selecciona un aspirante al azar, encuentre la probabilidad de que:

a) Tenga un coeficiente mayor de 120.

b) Tenga un coeficiente menor de 100.

c) Tenga un coeficiente menor de 122.

d) Tenga un coeficiente entre 115 y 125.

e) Tenga un coeficiente entre 90 y 105.

Solución.

a) Hay una distribución normal con media 115 y desviación estándar de 12 y queremos saber cual es la probabilidad de que x sea mayor de 120, es decir, cuanto mide el área a la derecha del 120.

Lo primero es transformar esta distribución normal en una distribución normal estándar (con media cero y desviación estándar 1), para lo cual hay que cambiar el valor de x por un valor Z con la fórmula.

z = X - µ = 120 – 115 = 0.41

σ 12

La distribución ya transformada queda así:

Se busca el valor del área a la derecha del valor Z en la tabla de áreas bajo la curva normal, la unidad y la primer decimal se buscan en la primer columna, y la segunda decimal en el primer renglón, donde se cruzan renglón y columna es el valor del área a la derecha del valor z. En este ejemplo:

Z 1

0.4 .34090

Y como el área a la derecha del valor z es el área que buscamos, entonces este es el resultado, es decir, la probabilidad de que un aspirante a la universidad tenga un coeficiente intelectual mayor de 120 es .34090

b) Para encontrar la probabilidad de que un aspirante tenga un coeficiente intelectual menor de 100, primero se traza la curva de la distribución normal original, para luego transformarse en la distribución normal estándar.

El valor z se calcula con la fórmula:

Z = X - µ = 100 - 115 = -1.25

σ 12

En la tabla de áreas bajo la curva normal no se tabularon valores z negativos, pero como la curva normal es simétrica, el área a la izquierda del valor z = -1.25 es del mismo tamaño que el área a la derecha del valor z = 1.25, por lo que solo se necesita buscar en la tabla el área correspondiente al valor positivo.

Z 5

1.2 .10565

c) Para encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor de 122, hay que estandarizar la distribución obteniendo el valor z correspondiente al valor de x = 122.

z = x - µ = 122 – 115 = 0.58 Z 8

σ 12 0.5 .28096

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