DISTRIBUCION BINOMIAL

Distribución Binomial o de Bernoulli

Es una distribución discreta de probabilidad conocida por sus variadas aplicaciones que se relaciona con un experimento de etapas múltiples.

Un experimento binomial tiene cuatro propiedades:

-El experimento consiste en una sucesión de n intentos idénticos

-En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o Fracaso

-La probabilidad de éxito, representado por p, no cambia de un intento a otro. En consecuencia, la probabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de un intento a otro.

- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones.

- La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión. -Los intentos son independientes.

Un ejemplo de distribución Binomial es determinar la probabilidad de que en n intentos al lanzar una moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso)

Veámoslo con un ejemplo

Tiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos. .Cual es la probabilidad de obtener tres cincos?

Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es nuestro éxito?

Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.

El fracaso, por tanto, será no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.

Por tanto Éxito = E = “sacar un 5” = p (E) =1/6

Fracaso = F = “no sacar un 5” = p (F) =5/6

Para calcular la probabilidad que nos piden, fijémonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 éxitos y 4 fracasos, .de cuantas maneras pueden darse estas posibilidades?

Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF

Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cuantas maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 éxitos. Recordando las técnicas combinatorias, este problema se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:

Y por tanto, como p (E) =1/6 y tengo 3 éxitos y p (F) =5/6 y tengo 4 fracasos: p(tener 3 éxitos y 4 fracasos) = 35 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6= 00781

Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de exito1/6, la probabilidad de obtener 3 éxitos es 0’0781, y lo expresaríamos:

Bin (7; 1/6) entonces p(X = 3) =00781

Como repetir este proceso sería bastante penoso en la mayoría de los casos, lo mejor es recurrir a la siguiente fórmula que expresa la probabilidad de obtener cierto número de éxitos en una distribución binomial:

Definición de distribución binomial:

Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener éxito, E, con probabilidad p y fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribución binomial de parámetros n y p, y lo representaremos por Bin(n; p). En este caso la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por:

- El número de veces que se realiza el experimento (n).

- La probabilidad de éxito (p).

- El número de éxitos (k).

La probabilidad p se busca en la primera fila (valores desde 0’01 hasta 0’5).

El número de veces que se realiza el experimento, en la primera columna (valores desde 2 a 10) y el número de éxitos a su lado.

Nota:

Observar que las probabilidades de éxito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra.

Ejemplo:

Antes teníamos Bin (7; 1/6), y queríamos calcular p(X=3) (obtener 3 éxitos). Aplicando la fórmula:

Cantidad de resultados experimentales con exactamente x éxitos en n intentos

También es necesario conocer la probabilidad asociada a cada uno de los resultados experimentales el cual se puede determinar a través de la siguiente relación

Combinado las dos expresiones obtenemos la función de distribución Binomial

Media y desviación típica en una distribución binomial

Aunque no se demostrara, en una distribución binomial Bin(n; p), el número esperado de éxitos o media, viene dado por x = n ・ p. (Recordemos que la media es una medida de centralización).

La desviación típica, σ, que es una medida de dispersión y mide lo alejados que están los datos de la media, viene dada por σ =√n ・ p ・ q.

Ejemplo:

El gerente de una gran tienda necesita determinar cuál es la probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan a la tienda hagan una compra. Él sabe que la probabilidad de que un cliente compre es de 0.3

Cantidad de resultados experimentales

Probabilidad de cada resultado experimental en donde 2 de los tres clientes compran

Luego 3•0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes que ingresan a la tienda 2 compren.

Distribución Binomial Negativa

En una serie de intentos independientes con una probabilidad constante de éxito p, sea la variable aleatoria X en número de ensayos efectuados hasta que se tienen r éxitos. Se dice que X tiene una distribución Binomial negativa con parámetro p y r cuando

Una variable binomial negativa es un conteo del número de ensayos necesarios para obtener r éxitos. Es decir, el número de éxitos está predeterminado y lo aleatorio es el número de ensayos. SE puede decir que esta variable es el opuesto de una variable binomial

Una variable binomial negativa es una suma de variables aleatorias geométricas

La media y varianza para esta distribución son

Ejemplo

Una aeronave tiene 3 computadoras idénticas. Sólo una de ellas se emplea para

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