DISTRIBUCION BINOMIAL

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA.

Esta distribución puede considerarse como una extensión o ampliación de la distribución geométrica . La distribución binomial negativa es un modelo adecuado para tratar aquellos procesos en los que se repite un determinado ensayo o prueba hasta conseguir un número determinado de resultados favorables (por vez primera) .Es por tanto de gran utilidad para aquellos muestreos que procedan de esta manera. Si el número de resultados favorables buscados fuera 1 estaríamos en el caso de la distribución geométrica . Está implicada también la existencia de una dicotomía de resultados posibles en cada prueba y la independencia de cada prueba o ensayo, o la reposición de los individuos muestreados.

Proceso experimental del que puede hacerse derivar

Esta distribución o modelo puede hacerse derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que se presenten las siguientes condiciones

• El proceso consta de un número no definido de pruebas separadas o separables . El proceso concluirá cuando se obtenga un determinado número de resultados favorables K

• Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes A y no A

• La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es p siendo la probabilidad de no A , q . Lo que nos lleva a que p+q=1

• Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas. Todas las pruebas son independientes. Si se trata de un experimento de extracción éste se llevará cabo con devolución del individuo extraído, a no ser que se trate de una población en la que el número de individuos tenga de carácter infinito.

• (Derivación de la distribución) Si, en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria x sea "el número de pruebas necesarias para conseguir K éxitos o resultados A " ; entonces la variable aleatoria x seguirá una distribución binomial negativa con parámetros p y k

será entonces

La variable aleatoria x podrá tomar sólo valores superiores a k

El suceso del que se trata podría verse como:

o lo que es lo mismo

dado que las pruebas son independientes y conocemos que P(A)= p y P(no A)= q

que sería la probabilidad de x si el suceso fuera precisamente con los resultados en ese orden. Dado que pueden darse otros órdenes , en concreto formas u órdenes distintos . La función de cuantía de la distribución binomial negativa quedará como :

Como ejemplo la representación gráfica de una variable sería la siguiente

Como en el caso de la geométrica , algunos autores aleatorizan de distinta manera el mismo proceso . Así X sería el número de fracasos (k) necesarios antes de conseguir el r-ésimo éxito . En este caso el número de pruebas sería k + r ( lo que nosotros hemos llamado x) y r lo que nosotros hemos denominado k.

Para este tipo de aleatorización la función de cuantía sería:

que como se observa es la misma si se realizan los antes nombrados cambios

La función generatriz de momentos será (según nuestra aleatorización) para una BN(k,p).

Aplicando el teorema de los momentos hallamos media y varianza que resultan ser:

No parece necesario recordar que si nos encontramos con una distribución BN( k=1,p) realmente se trata de una distribución geométrica.

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

2.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p

3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

4.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio

Ejemplo

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

2.¿Y al menos 2?

Parámetros de la distribución binomial

Media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo

La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

Función de probabilidad

El eje horizontal es el índice k.

Función de distribución de probabilidad

Parámetros

Dominio

Función de probabilidad(fp)

Función de distribución(cdf)

(dónde es laFunción gamma incompleta)

Media

...