La ley de Hooke describe cuánto se alargará un resorte bajo una cierta fuerza.

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo [pic 1]:

[pic 2]

siendo [pic 3] el alargamiento, [pic 4] la longitud original, [pic 5]: módulo de Young, [pic 6] la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre del físico inglés Robert Hooke, contemporáneo de Isaac Newton, y contribuyente prolífico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniería y construcción, así como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

Ley de Hooke para los resortes[editar]

[pic 7]

La ley de Hooke describe cuánto se alargará un resorte bajo una cierta fuerza.

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza [pic 8] ejercida por el resorte con la elongación o alargamiento [pic 9] provocado por la fuerza externa aplicada al extremo del mismo:

[pic 10]

donde [pic 11] se llama constante elástica del resorte y [pic 12] es su elongación o variación que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica [pic 13] asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

[pic 14]

Es importante notar que la [pic 15] antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando [pic 16] por la longitud total, y llamando al producto [pic 17] o [pic 18] intrínseca, se tiene:

[pic 19]

Llamaremos [pic 20] a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos el cual tomaremos como origen de coordenadas, [pic 21] a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud [pic 22] a la misma distancia y [pic 23] al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza [pic 24]. Por la ley del muelle completo:

[pic 25]

Tomando el límite:

[pic 26]

que por el principio de superposición resulta:

[pic 27]

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo [pic 28], se obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

[pic 29]

Ley de Hooke en sólidos elásticos[editar]

La ley de Hooke para sólidos elásticos generaliza la ley de Hooke para resortes. En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada solo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

[pic 30]

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran solo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.

De tal forma que la deformación [pic 31] es una cantidad adimensional, el módulo [pic 32] se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo [pic 33] (unidades pa, psi y ksi). El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo [pic 34] para el que la similitud entre [pic 35] y [pic 36]deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosión; que pueden afectarse debido a la aleación, el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

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