La paradoja de los gemelos

La paradoja de los gemelos (o paradoja de los relojes) es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores con diferentes estados de movimiento.

Esta paradoja fue propuesta por Einstein al desarrollar lo que hoy se conoce como la relatividad especial. Dicha teoría postula que la medida del tiempo no es absoluta, y que, dados dos observadores, el tiempo medido entre dos eventos por estos observadores, en general, no coincide, sino que la diferente medida de tiempos depende del estado de movimiento relativo entre ellos. Así, en la teoría de la relatividad, las medidas de tiempo y espacio son relativas, y no absolutas, ya que dependen del estado de movimiento del observador. En ese contexto es en el que se plantea la paradoja.

Formulación de la paradoja[editar]

En la formulación más habitual de la paradoja, debida a Paul Langevin, se toma como protagonistas a dos gemelos (de ahí el nombre); el primero de ellos hace un largo viaje a una estrella en una nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz; el otro gemelo se queda en la Tierra. A la vuelta, el gemelo viajero es más joven que el gemelo terrestre.

De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y según su predicción de la dilatación del tiempo, el gemelo que se queda en la Tierra envejecerá más que el gemelo que viaja por el espacio a gran velocidad (más adelante se prueba esto mediante cálculo) porque el tiempo propio del gemelo de la nave espacial va más lento que el tiempo del que permanece en la Tierra y, por tanto, el de la Tierra envejece más rápido que su hermano.

Pero la paradoja surge cuando se hace la siguiente observación: visto desde la perspectiva del gemelo que va dentro de la nave, el que se está alejando, en realidad, es el gemelo en la Tierra (de acuerdo con la Invariancia galileana) y, por tanto, cabría esperar que, de acuerdo con los cálculos de este gemelo, su hermano en la Tierra fuese quien tendría que envejecer menos por moverse respecto de él a velocidades cercanas a la de la luz. Esto es, el gemelo de la nave es quien tendría que envejecer más rápido.

La paradoja quedaría dilucidada si se pudiese precisar quién envejece más rápido realmente y qué hay de erróneo en la suposición de que, de acuerdo con los cálculos del gemelo de la nave, es el gemelo terrestre quien envejece menos.

Solución de la paradoja según la relatividad especial[editar]

A Einstein le costó aclarar esta paradoja unos cuantos años, hasta que formuló la relatividad general y demostró que, ciertamente, es el gemelo de la Tierra quien envejece más rápido.

Sin embargo, aunque Einstein resolvió la paradoja en el contexto de la relatividad general, la paradoja puede resolverse dentro de los límites de la teoría de la relatividad especial, como muestra este artículo.

Para dilucidar la aparente paradoja es necesario realizar los cálculos desde el punto de vista del gemelo que permanece en la Tierra y desde el punto de vista del gemelo viajero, y ver que las estimaciones de tiempo transcurrido coinciden examinadas desde ambos puntos de vista.

El cálculo desde el punto de vista del gemelo terrestre es rutinario y muy sencillo. El cálculo desde el punto de vista del gemelo viajero es más complejo porque requiere realizar cálculos en un sistema no inercial. A continuación, se presentan las predicciones de la teoría aplicadas a ambos gemelos y se prueba que los resultados coinciden, demostrando que la aparente paradoja no es tal.

Cálculo según el gemelo terrestre[editar]

Un posible esquema del viaje de ida y vuelta del gemelo viajero, en cinco fases: alejamiento acelerado, alejamiento a velocidad constante, frenado y cambio de sentido, acercamiento a velocidad constante, frenado hasta reencontrarse con el gemelo terrestre.

Las condiciones del experimento requieren que el gemelo viajero se aleje de la Tierra y más tarde regrese, lo cual necesariamente implica tener en consideración aceleraciones positivas y negativas. Simplificadamente, supondremos que el experimento puede llevarse a cabo en 5 etapas:

1. En el instante de tiempo t = 0 el gemelo viajero parte con "(pseudo)aceleración" (medida por el gemelo de la Tierra) w = F/m constante que lo aleja de ella. Se mueve aceleradamente entre los instantes medidos por el gemelo terrestre t = 0 y t = T1, llegando a la velocidad V.

2. Cuando el gemelo viajero llega a una velocidad V apaga los motores de su nave, y sigue alejándose de la Tierra, ahora a velocidad constante. Durante esta etapa comprendida entre los instantes t = T1 y t = T1+T2el gemelo viajero se aleja de la Tierra a velocidad V.

3. Después de un tiempo viajando a velocidad uniforme el gemelo viajero pone en marcha los motores de su nave en sentido contrario y desacelera con la misma aceleración con la que aceleró, así transcurrido un tiempo de deceleración T1 (medido por el gemelo en la Tierra) la velocidad será nula, y transcurrido otro intervalo T1 la velocidad será -V (donde el signo negativo indica que la velocidad es en sentido contrario al que utilizó en su viaje de ida).

4. Una vez alcanzada la velocidad -V que hace que el gemelo viajero se aproxime a la Tierra de regreso con velocidad uniforme, el gemelo viajero permanece viajando aproximándose a la Tierra durante un intervalo de tiempo T2.

5. Finalmente, para poderse reencontrar con su gemelo en la Tierra, el gemelo viajero desacelera, hasta llegar a la Tierra en reposo, eso requiere una aceleración igual a las anteriores aplicada durante un intervalo de tiempo T1.

Por construcción la duración del viaje medido por el gemelo situado en la Tierra, es la suma de los tiempos de cada etapa, ya que hemos definido esas etapas a partir de lecturas del gemelo en la Tierra, para este gemelo la duración del viaje ha sido:

Ahora podemos comparar qué tiempo estima el gemelo de la Tierra que habrá medido su gemelo viajero. Para ello procedemos por etapas. En la primera etapa el tiempo que el gemelo de la Tierra estima ha transcurrido para el gemelo viajero, usando la relación entre la (pseudo)aceleración y la velocidad en un movimiento acelerado relativista, viene dado por:

Entre los instantes tiempo t = T1 y t = T1+T2 (medidos por el gemelo terrestre) la nave espacial se mueve con velocidad uniforme V por tanto:

Juntando los resultados anteriores, en el momento del encuentro de acuerdo con los cálculos del gemelo terrestre, él y su gemelo viajero habrán notado tiempos diferentes de viaje dados por:

Es sencillo comprobar que para cualesquiera valores de w, T1 y T2, el segundo tiempo es siempre menor que el primero: , y por tanto, según el gemelo terrestre él mismo envejecerá más

...