Laboratorio 1 Modelos Estocásticos

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Laboratorio 1

Modelos Estocásticos

Profesor: Ricardo Monge Rogel

                                                                Alumno: Felipe Cornejo Araya

                                                                Sección: 654

                                                                Fecha: 05/09/2022

Ejercicio 1:

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1. Determinar k tal que f(x) sea una función de densidad de probabilidad.

Para que f(x) sea función de densidad de probabilidad se debe cumplir lo siguiente:

• [pic 3]
• [pic 4]

Desarrollando la integral, tenemos:

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Por lo tanto, lo que se busca es:

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El valor de la integral lo obtenemos usando el programa R, con el siguiente código:

library(mosaic)

f <- function(x) {(x-2)*(x+2)*(-2<=x & x<=2)}

integrate(f,-2,2)

Obteniéndose el siguiente valor: -10.6667

Con lo cual, el valor de k que satisface la condición de que la integral de f(x) sea igual a 1 es:

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Utilizando este valor de k, la función queda definida de la siguiente manera:

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Para corroborar que la función cumple con ser mayor o igual a 0 en todo momento procedemos a graficar la función:

Para esto, utilizamos el siguiente código de R:

gf_line(y~x, data= data_frame(x=seq(-2,2, by=0.01),y=f(x)),group= ~(x>3)) %>%

  gf_labs(y="f(x)")

Obteniéndose el siguiente gráfico:

[pic 9]

Con lo cual se muestra que la función se mantiene por sobre el eje x en el intervalo [-2,2] mientras que, para otros valores de x, la función vale 0.

1. [pic 10]

Para su cálculo utilizamos R:

integrate(f,-2,0)

Obteniéndose el valor 0.5 para esa integral. Por lo tanto 1-0.5=0.5

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1. [pic 12]

Para su cálculo usamos R:

integrate(f,-2,1)

1-0.84375

Obteniéndose el siguiente resultado:

[pic 13]

1. [pic 14]

Para calcular esta expresión se usa el siguiente código de R:

integrate(f,-2,1)

integrate(f,-2,-1)

0.84375-0.15625

obteniéndose el siguiente resultado:

[pic 15]

Ejercicio 2:

[pic 16]

d)

fdp de X:

Se obtiene con los siguientes comandos en R:

library(Deriv)

g<-function(x) x^2/4

gprima<-Deriv(g, "x")

gprima

Consiguiéndose la siguiente expresión para la fdp de X:

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1. P(X<=1)

integrate(gprima,0,1)

Obteniéndose:

[pic 18]

1. P(0.5 <= X <= 1)

integrate(gprima,0,1)

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