Las Derivadas Sucesivas o derivadas de orden superior "con aplicación a problemas en matemáticas para los negocios" IPN

Derivadas Sucesivas o derivadas de orden superior

Sea  f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

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[pic 5][pic 4]

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Ejemplo:

1. f(x) = x5 – 2x3 + x        

f’(x) = 5x4 – 6x2 + 1

f’’(x) = 20x3 – 12x + 0

f’’’(x) = 60x2 – 12

f(4)(x) = 120x

f(5)(x) = 120

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Concavidad[pic 8]

a) Si una curva queda por debajo de sus tangentes,   el arco es cóncavo hacia abajo, es decir, hacia la parte negativa del eje y.[pic 9]

b) Si una curva queda por encima de sus tangentes, el arco es cóncavo hacia arriba, es decir, hacia la parte positiva del eje y. 

c) si una curva cambia el sentido de su concavidad en un punto, indica que tiene un punto de inflexión.

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Las pendientes de las tangentes crecen en el intervalo donde la gráfica es cóncava hacia arriba. Como f´(x) es la pendiente de esas tangentes, entonces f´(x) crece en el intervalo donde f(x) es cóncava hacia arriba.

Si la segunda derivada de una función es negativa en el intervalo, las pendientes de las tangentes decrecen en el intervalo,

La gráfica de y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a, f(a)) si f´´(x) > 0 y que la gráfica es cóncava hacia abajo en (b, f(b)) si f´´(x) < 0.[pic 11]

La segunda derivada[pic 12]

La segunda derivada se puede utilizar para determinar donde una función es cóncava hacia arriba y donde es cóncava (o convexa) hacia abajo, lo cual permite también localizar los puntos de inflexión de la función (si estos existen).

Una función y = f(x) tiene un máximo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor negativo.

Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor positivo.[pic 13][pic 14]

Si la segunda derivada tiene un valor negativo, la f(x) en el punto crítico es un valor máximo.

Si la segunda derivada tiene un valor positivo, la f(x) en el punto crítico es un valor mínimo. 

Máximos y mínimos. Prueba de la segunda derivada, para determinar el máximo o el mínimo

1. Se obtiene la primera derivada de la función.

2. Se iguala la primer derivada con cero, para encontrar el o los puntos críticos y se resuelve la ecuación que resulte.

3. Se obtiene la segunda derivada de la función f(x), es decir f´´(x). Con lo que resulta la pendiente de la pendiente de la función, ya que la primera derivada es la pendiente de la función.

4. Se sustituye el o los resultados obtenidos en la segunda derivada.

Evaluar f´´(x) en cada valor crítico para el cual f´(x) = 0.

  a) Si la segunda derivada resulta negativa, se trata de un máximo, indica que la pendiente de la función pasa de positiva a negativa en el punto crítico. El valor de x es la abscisa del punto de ordenada máxima. Si f´´(x) < 0, hay un máximo relativo.

  b) Si la segunda derivada resulta positiva, se trata de un mínimo, indica que la pendiente de pasa de negativa a positiva en el punto crítico. El valor de la x es la abscisa del punto de ordenada mínima. Si f´´(x) > 0, hay un mínimo relativo.

  c) Si la segunda derivada es cero, el punto crítico no es ni un valor máximo ni un mínimo, sino un punto de inflexión. Si f´´(x) = 0, o f´´(x) es indefinida, la prueba de la segunda derivada falla y se debe usar la prueba de la primer derivada.

5.  Para obtener el valor de la ordenada máxima o mínima se sustituye el o los valores de las abscisas anteriormente obtenidas en la función original. 

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