Los Problemas Matematicos

Problema matemático

Un problema matemático consiste en buscar una determinada entidad matemática de entre un conjunto de entidades del mismo tipo que además satisfaga las llamadas condiciones del problema. Formalmente todo problema puede reducirse a una terna (S,C( ),r) \, donde S \, es un conjunto de objetos, C(s)\, es una condición (o condiciones) tal que dado s\in S puede o no ser satisfecho (para ello la condición debe ser una fórmula lógica bien formada y cerrada). La resolución del problema es un procedimiento que determina cual es el único r\in S que satisface C(r)\,.

Algunos problemas clásicos como el de la cuadratura del círculo u otros donde se trata de decidir si una afirmación P es o no cierta, pueden reducirse a la forma de terna si tomamos como S \, el conjunto de demostraciones posibles y C(X) \, como la condición de "X es una demostración válida de que la afirmación del problema P es cierta". Se dice que un problema no tiene solución cuando \forall r\in S:\lnot C(r) , es decir, \lnot \exists r\in S:C(r) .

Índice [ocultar]

1 Ejemplos

1.1 Ecuación algebraica

1.2 Problema geométrico elemental

1.3 Problema de cálculo elemental

2 Problemas no algorítmicos

3 Véase también

4 Referencia

4.1 Bibliografía

Ejemplos[editar]

Ecuación algebraica[editar]

Artículo principal: Teoría de ecuaciones

Un ejemplo sencillo sería encontrar los números enteros que satisfacen la siguiente igualdad r^2-2r+1 = 0 \,. Aquí el conjunto sobre el que se plantea el problema es conjunto de los números enteros \mathbb{Z}, la condición es que se cumpla la anterior igualdad, y r \, es el único número que la satisface (puede verse que r \,= 1).

Más en general, la resolución de una ecuación algebraica es un problema matemático planteado sobre un conjunto \mathbb{K} que tiene estructura de cuerpo o anillo algebraico consistente en buscar elementos r \in \mathbb{K} que cumplan la siguiente igualdad:

C(x) = a_n \cdot r^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} +... + a_1 \cdot x+ a_0 = 0

Si sólo existe un elemento que cumpla la anterior igualdad, esto se puede reformular como un problema del tipo (\mathbb{K},C(r)=0,r) \,, aunque normalmente el problema anterior admite más de una solución por lo que el problema matemático propiamente dicho es encontrar un conjunto de soluciones S \,, y por tanto cuando la solución no es única debemos resolver un problema de tipo (\mathcal{P}(\mathbb{K}), \left[\forall x \in S:C(x)=0 \right], S) \,, donde \mathcal{P}(\mathbb{K}) \, es el conjunto de las partes de \mathbb{K} \,

Problema geométrico elemental[editar]

Otros problemas consisten en encontrar un procedimiento geométrico para trazar con regla y compás un circunferencia, ángulo, polígono o recta que cumpla ciertas condiciones. Un problema muy sencillo es el de fijados 3 puntos

...