Los balances microscópicos permiten detallar la cantidad conservativa en cuestión

5.4.- Balance Microscópico

Los balances microscópicos permiten detallar la cantidad conservativa en cuestión, en términos de gradientes espaciales y temporales. Matemáticamente, y en el caso más general, los balances microscópicos conducen a ecuaciones diferenciales parciales en tres variables espaciales y el tiempo. Esos balances son también llamados "ecuaciones de cambio" o "ecuaciones de variación". En general, estas ecuaciones pueden suponer problemas matemáticos bastante complejos e interesantes. En compensación, permiten obtener enormes cantidades de información; Si se resuelven correctamente, conducen a una descripción completísima de un sistema en términos de perfiles geométricos y temporales de velocidad, presión, temperatura y concentración.

La integración o solución de los balances microscópicos, conducen a los balances macroscópicos. Por ejemplo, cuando el balance microscópico de energía mecánica se integra sobre un volumen de control de interés en ingeniería, se obtiene la ecuación de diseño conocida como "Ecuación de Bernoulli".

La importancia de los balances es enorme. Se puede decir que son lo que marca la diferencia entre conocimiento de ingeniería bien fundamentado del empirismo bárbaro.

Por un lado, tienen una importancia epistemológica, pues permiten entender qué es lo que sucede (relaciones entrada - salida y causa - efecto), qué magnitudes físicas intervienen en los fenómenos y su peso específico en operaciones y procesos. Esta comprensión permite proponer mejoras o entender escenarios de lo que sucedería si las condiciones cambiasen.

Por otro lado, permiten DISEÑAR!... Volviendo al ejemplo, la ecuación de Bernoulli permite diseñar la mejor configuración de una red de tuberías, así como determinar los requerimientos de potencia en una instalación, información sin la cual la tarea de bombeo podría no ser exitosa. En cuanto al diseño se refiere, los balances microscópicos son tan poderosos que permiten diseñar en cualquier escala de tamaño sin necesidad de factores de escalamiento empíricos. Antiguamente, muchos diseños se hacían al tanteo, por ensayo y error, con prototipos de equipos de diferentes configuraciones y tamaños. Gracias al conocimiento de las ecuaciones de variación, los diseños se pueden hacer en papel o computadora casi por completo, minimizando así la cantidad de experimentación (costosa y demorada) que sería necesario adelantar para hacer tecnología.

Balance microscópico en un volumen de control aplicando diferencias finitas :

Balance de calor en los puntos interiores de la corriente

Para obtener la distribución de temperatura aplicamos un balance de energía calorífica en un volumen de control, en forma de ánulo, de grosor 2∆r y longitud 2∆z. Se supondrá que la conducción en la dirección Z es pequeña comparada con la transmisión convectiva, de forma que el flujo de calor por

conducción en esta dirección puede despreciarse. Para llevar a cabo el balance de calor en el volumen de control, tendremos en cuenta que para el fluido se cumple que:

[pic 1]

Para determinar el modelo matemático para el término de la derecha (la variación del flujo de calor), podemos establecer la expresión:

[pic 2]

Donde:

Z = m . ∆Z y X = n . ∆X y T n m representa la temperatura que tendrá la corriente en un punto (n, m), de acuerdo con lo anterior y teniendo en cuenta que, la ecuación (2) se puede escribir de la forma:

[pic 3]

Como el volumen de control viene dado por:

[pic 4]

la ecuación se puede escribir finalmente de la forma:

[pic 5]

Para los términos de la izquierda de la ecuación (1) el modelo matemático se puede determinar a partir del flujo de calor que entra o sale del volumen de control por conducción en sentido radial:

[pic 6]

donde A Int y A Ext son las áreas de transferencia del volumen de control perpendiculares a la dirección del flujo de calor en dirección r. Igualando las ecuaciones (4) y (5) se obtiene:

[pic 7]

Al resolver esta ecuación discreta se obtiene la temperatura en función de r y z en el tubo. Para el caso del flujo lento de sustancias que poseen una conductividad calorífica elevada, tales como metales líquidos, la transferencia de calor por conducción en dirección z no puede suprimirse, y a la ecuación  deberá añardirse el término correspondiente, quedando de la forma:

[pic 8]

Como las áreas seccionales son iguales, la ecuación se puede escribir de la forma:

[pic 9]

Si                       , constante,

r

v

Cp

k

D

∆

=

ρ

entonces:

()

D

T

n

T

n

T

D

T

D

T

m

n

m

n

m

n

m

n

m

n

n

−

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

−

=

−

−

+

+

1

2

1

1

2

1

1

4

1

1

,

1

,

1

,

1

,

           (8)

La ecuacion (1) es en general y puede aplicarse a cualquier tipo de coordenadas. Por ejmplo para el flujo atravez de una seccion rectangular en direccion z como las areas en cada direccion son iguales, la ecuacion queda de la forma:

()

()

()

1

1

,

1

,

1

1

,

,

1

,

1

,

,

1

,

,

,

,

2

2

...