Los conceptos fundamentales de los movimientos periódico y oscilatorio

Tema 1. Movimiento periódico

Introducción

Una de las aplicaciones de la dinámica es el caso de aquellos sistemas físicos que producen un movimiento particular llamado periódico, en donde el movimiento se repite a intervalos de tiempos iguales, como la Luna alrededor de la Tierra, y a su vez la Tierra alrededor del Sol, así como los demás planetas del Sistema solar. Dentro de estos movimientos que se repiten, están aquellos que emplean la misma trayectoria tanto de ida como de vuelta, como el vaivén de un péndulo, o el de una masa colgando de un resorte, estirándolo inicialmente y luego soltando el sistema para producir este movimiento de ida y de vuelta que es llamado oscilatorio.

En este tema estudiarás los conceptos fundamentales de los movimientos periódico y oscilatorio, particularmente analizando el sistema físico masa-resorte, libre de fricción, que por sus características, a este movimiento periódico y oscilatorio se le llama armónico simple.

Explicación

1.1 Movimiento periódico

Es aquel movimiento que se repite a intervalos de tiempos iguales, en donde este tiempo es llamado periodo (T) en seg, mostrando en la siguiente tabla algunos casos de este tipo de movimiento:

Ejemplo de movimiento periódico Periodo (T)

La Tierra girando sobre su propio eje 1 día

La Tierra girando alrededor del Sol 365 días

La Luna girando alrededor de la Tierra 28 días

Oscilación de un péndulo de un reloj de pared Tiempo de una vuelta

Oscilación de un resorte unido a una masa libre de fricción Tiempo de una vuelta

Los últimos dos ejemplos de la tabla anterior, tienen la característica que el movimiento de ida y de vuelta se realiza sobre la misma trayectoria, este movimiento es conocido como oscilatorio, en donde cada repetición es llamada oscilación.

1.2 Movimiento armónico simple (M.A.S)

El movimiento armónico simple es aquel movimiento periódico y que a su vez es oscilatorio, pero que también tiene la característica que la representación matemática de este movimiento es una función armónica, como es el caso de las funciones trigonométricas seno y coseno. A continuación se definen conceptos fundamentales para este tipo de movimiento:

a. Frecuencia de oscilación ( f ) se mide en Hertz (Hz) y representa el número de oscilaciones o vueltas en un tiempo dado y es igual al inverso del periodo:

b. Frecuencia angular ( w ) se mide en rad/seg y se relaciona con la frecuencia de oscilaciones mediante la expresión:

Haz clic en la imagen para ver el ejemplo.

1.3 Sistema masa-resorte

Consiste de una masa (m) unida a un resorte de constante elástica (k), que puede estar el sistema en forma vertical como se muestra en la siguiente figura del lado izquierdo (1.1), en la posición A, el resorte no presenta estiramiento ni compresión, pero en la posición B ya se unió la masa al resorte, y por influencia del peso, el resorte se estira cierta distancia hasta que queda en equilibrio, y en la posición C, se ejerce un estiramiento adicional para provocar el movimiento armónico simple.

También puede estar el sistema en forma horizontal como es observado en la figura 1.2, en donde la masa está sobre una superficie horizontal sin fricción, y al estirar la masa a la derecha (X > 0), el resorte ejerce una fuerza hacia la izquierda, luego pasa la masa por la posición X=0, llamada posición de equilibrio, y conforme el resorte empieza a comprimirse (X < 0) el resorte ejerce una fuerza hacia la derecha.

Figura 1.1

Imagen obtenida de http://fisica.medellin.unal.edu.co/../

Solo para fines educativos.

Figura 1.2

Imagen obtenida de http://acer.forestales.upm.es/../

Solo para fines educativos.

Este tipo de fuerza que se presenta en el resorte es llamada fuerza restauradora, cuya ecuación es conocida como la ley de Hooke: F= -kX, y si está en equilibrio con la masa colgando se cumple que: kX = mg, en donde X (m) es la distancia que se estira el resorte y K (N/m) es la constante elástica del resorte. Cuando el sistema se pone en movimiento se aplica la segunda ley de Newton, esto es:

F = ma , por lo tanto ma = -kX

En donde la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, entonces resulta la siguiente ecuación diferencial:

Y la solución de esta ecuación diferencial es la expresión de posición con respecto al tiempo:

En donde A es la amplitud de la oscilación, Φ es la constante de fase, o ángulo inicial del movimiento en radianes, y ω es la frecuencia angular en rad/seg, que a su vez de la ecuación diferencial se obtiene la expresión:

Al derivar la ecuación de posición con respecto al tiempo se obtiene la función de velocidad:

Y al derivar la ecuación de velocidad con respecto al tiempo se obtiene la función de aceleración:

De las ecuaciones anteriores se obtienen las siguientes expresiones para los valores máximos de la velocidad y la aceleración:

vmax = Aω, y amax = Aω2

Ejemplo

Como un caso de aplicación del tema 1, considera un sistema masa-resorte como se muestra en la siguiente figura 1.3, iniciando el movimiento con el resorte estirado 20 cm, con valor de masa de 0.5 kg y de la constante del resorte de 50 N/m.

Figura 1.3

Imagen obtenida de http://11-1g3.wikispaces.com/../

Solo para fines educativos.

Los parámetros del movimiento armónico simple (M.A.S.) son:

Frecuencia angular:

Periodo:

Amplitud: A=0.1 m, Constante de fase: Φ=0 rad

Por lo que las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración como funciones del tiempo quedarían respectivamente:

En la siguiente tabla se muestran valores para 4 tiempos particulares dentro de un periodo (T) del M.A.S. para este sistema masa resorte, iniciando el movimiento (t=0) en la posición del resorte estirado:

Tiempo Posición Velocidad Aceleración Fase (ωt)

to=0 A 0 - Aω2 0

t1=T/4 0 - Aω 0

t2=T/2 -A 0 Aω2 π

T3=3T/4 0 Aω 0

t4=T A 0 - Aω2 0

Mostrándose en la siguiente figura 1.4 las gráficas correspondientes:

Figura 1.4

Imagen obtenida de http://www.fisicanet.com.ar/../

Solo para fines educativos.

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Checkpoint

Asegúrate de comprender:

• Las características del movimiento armónico simple (M.A.S.).

• La solución de problemas de sistemas masa-resorte.

Tema 2. Péndulos

Introducción

Dentro

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