Los números reales es un tema muy extenso

Instituto Tecnológico de Tepic

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                                      Ingeniería Civíl
                                   Cálculo Diferencial
                         Ensayo de los Números Reales
                       Maestro: Ing. Roberto Oramas Bustillos
                        Alumno: Elio David Montoya Mora  
                              Fecha: 12/Septiembre/2015
                             

Los números reales es un tema muy extenso, pero interesante, pero, para entender que son los números reales, se necesita saber cuál es el significado de número, yo al principio no sabía cómo interpretar el concepto de número, pero después de analizar llegué a una sola conclusión y un solo significado: “Un número es todo aquél símbolo que tiene un valor determinado”. Después de llegar a ésta conclusión, me dí cuenta que existen muchos sistemas numéricos, como por ejemplo el Hebreo, Romano, el Egipcio, Indoarábigo e incluso el Binario, donde cada sistema tiene un símbolo, en el cuál cada uno tiene un valor asignado. Cada uno de ésos sistemas son diferentes entre sí, pero algunos son similares, no por los símbolos, sino por su acomodo en un valor, por ejemplo, los números 2 y 4 pueden tomar dos valores dependiendo de su acomodo, 24 y 42, mientras que en el sistema maya no afectaba al valor deseado el lugar donde se tenía el número, ejemplo el número 6:       ó       , en éste ejemplo, el acomodo de los símbolos no afectaba el valor del número 6. En los sistemas numéricos, cuando el valor de uno o más símbolos es diferente al cambiar la posición, significa que es un sistema numérico posicional, en los sistemas posicionales están el sistema romano, indoarábigo y el binario. A los sistemas donde la posición de un símbolo no interfiere al valor se les llama sistemas numéricos NO posicionales, entre ellos están el egipcio y el maya.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Volviendo al concepto de números reales y entendiendo lo anterior, los números reales son todos aquellos números que se pueden graficar en la recta numérica de manera exacta. Los números reales se dividen en:
Naturales, Racionales e Irracionales.
Los números naturales abarcan desde el 0 hasta el ∞+ y del 0 hasta ∞-, esto significa que los números naturales abarcan todos los números positivos, tanto como los negativos, y todos ellos, son enteros, como el 2, el 4, el    -6, etc. Los números racionales son aquellos que están dados en  (Cualquier número entre otro). Éstos mismos también se dividen en Racionales Finitos, Racionales infinitos y Racionales Enteros.
Los Racionales Finitos son aquellos números racionales que divididos den cifras decimales terminales, como  , que al dividirlos, dá como resultado 0.5, otro ejemplo sería , que es igual a 0.75, y las decimales de los dos racionales tienen un fin, de ahí su nombre.
Los racionales Infinitos son aquellos cuyo número racional no tiene fin en sus decimales al ser dividido, y se clasifican en periódicos puros y periódicos mixtos, como por ejemplo , que al dividirse dá como resultado 0.714285714… , éste caso es un periódico mixto, ya que el patrón de repetición se encuentra después de mas de 2 cifras después del punto decimal sus decimales, otro ejemplo es  y su resultado es 0.242424… y es de caso periódico puro, ya que el patrón de repetición está cercano al punto decimal. En los dos ejemplos se demuestra que ninguno tiene fin, y de ahí su nombre Racional Infinito.
Los números racionales enteros son todos aquellos  que al ser divididos dan como resultado un número entero, sin decimales, como ejemplo está , al dividirse, el resultado es 2.
Finalmente se tienen los números irracionales no son iguales a los racionales ( ≠ √n) porque los irracionales no tienen un fin definido, y sus decimales no son repetitivas como en el caso de los números racionales, donde había un patrón de repetición en los decimales, ejemplo: √3,√8,√5, etc. En todos los casos, los números irracionales se representan con raíces cuadradas de cualquier número, ya que es una igualdad entre el valor y la raíz, hay algunos casos, donde los valores están dados en raíces, y su resultado es un número entero, como por ejemplo: √4,√9,√36, etc.
Un ejemplo común de número irracional es el valor de π, ya que su valor no tiene un fin encontrado, y sus decimales no tienen patrón de repetición.[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Ahora que se sabe que es un número, sus clasificaciones y algunos ejemplos, hay otra incógnita, ¿Se pueden graficar los números reales en una recta numérica de manera exacta?
Después de haber sabido todo lo anterior, mi respuesta fue si, ya que una de las características de los números reales es que se pueden graficar en una recta numérica de manera exacta, al principio me preguntaba cómo se hacía para graficar de manera exacta los números racionales e irracionales, porque los naturales todos los sabemos graficar de manera muy fácil, y descubrí que los números racionales e irracionales se graficaban en la recta de manera diferente a los números naturales.
Para graficar los números racionales, se tiene que averiguar cuál es el valor más grande que se tiene, para poder saber en cuanto se dividirá la recta, después igualar cualquier número racional con otro racional, por ejemplo: si se tiene , y , el racional  se transforma a , y así se tienen los racionales con el mismo denominador, después la recta se divide en 8 partes iguales y se cuenta la equivalencia.
Los números irracionales suena algo difícil poder graficarlos en la recta, pero es muy fácil. Se sabe por el teorema de Pitágoras, que un triángulo de Catetos igual a 1, su hipotenusa será igual a √2, entonces, si se quiere graficar √3, entonces en el punto donde chocan la hipotenusa y el cateto adyacente, con un compás con medida 1 se gira, y donde termine un pedazo de la curva, sería ahí √3, posteriormente, para graficar √5, se sabe que √4 es 2, entonces, se traza una línea paralela a la del último punto graficado, y se hace el mismo procedimiento con el compás. En el caso de π, parece imposible de graficar, pero debo decir que si es posible.
Se sabe que el valor de π es indefinido, pero también se sabe que la mitad de la vuelta completa de un círculo(180°) también equivale a π, entonces, para graficar π, se hace un círculo a la escala deseada, entonces, se concluye que π en la gráfica será 180° desde el círculo de origen hasta donde concluyan los 180°.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

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