Límites y continuidad Problemas de la tangente y la velocidad

1.1 Límites y continuidad

1. Problemas de la tangente y la velocidad

• Problema de la tangente

Se tiene una función  y un punto  de su gráfica. Tratar de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto , como se muestra en la figura 1.1[pic 1][pic 2][pic 3]

Salvo los casos en los que la recta tangente es vertical, el problema de encontrar la recta tangente en el punto equivale al de determinar la pendiente de la recta tangente en . Se puede calcular aproximadamente esta pendiente trazando una recta por el punto de tangencia y por otro punto sobre la curva, como se muestra en la figura 1.2a. Dicha recta se conoce como recta secante. Si  es el punto de tangencia y  es un segundo punto de la gráfica de , la pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos, está dada por: [pic 9][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 10]

[pic 11]

A medida que el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la recta secante se aproxima a la de la recta tangente, como se muestra en la figura 1.2b. Cuando existe tal “posición límite”, se dice que la pendiente de la recta tangente es el límite de la pendiente de la recta secante

Ejemplo 1

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola  en el punto .[pic 12][pic 13]

Solución

Se puede encontrar la ecuación d la recta tangente  tan pronto como conozcamos su pendiente . La dificultad es que sólo conocemos un punto  sobre , y para calcular la pendiente se necesitan 2 puntos. Sin embargo, observamos que podemos calcular una aproximación a  eligiendo un punto cercano  sobre la parábola (como en la figura 2) y calculando la pendiente  de la recta secante . [Una recta secante es una recta que corta una curva más de una vez] [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Elegimos  de manera que . Entonces:  [pic 23][pic 24][pic 25]

Por ejemplo, para el punto Q(1.5,2.25), tenemos [pic 26]

Las tablas siguentes muestran los valores de  para varios valores de  cercanos a 1. Cuanto más cerca está  de , la x es más cercana a 1 y, de las tablas,  está más cerca de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente  debe ser [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo expresamos escribiendo:  y [pic 35][pic 36]

Suponiendo que la pendiente de la recta tangente finalmente es 2, se utiliza la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente para escribir la ecuación de la recta tangente en (1,1) como:

 o bien [pic 37][pic 38]

La figura 3 muestra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Cuando  se aproxima a  a lo largo de la parábola, las correspondientes rectas secantes giran alrededor de  y se aproximan a la tangente [pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

[pic 43]

Ejemplo 2

La unidad de destello (flash) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un condensador y su liberación repentina cuando el flash se activa. Los datos de la tabla describen la carga Q restante en el condensador (medida en microcoulombs) en el tiempo (medido en segundos después de que el flash se dispara). Utilice los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime la pendiente de la recta tangente en el punto donde . [Nota: la pendiente de la recta tangente representa la corriente eléctrica (medida en microamperios) que fluye desde el condensador a la lámpara del flash][pic 46][pic 44][pic 45]

Solución

En la figura 4 se grafican los datos dados y se usan para trazar una curva que se aproxima a la gráfica de la función

[pic 47]

Dados los puntos  y  en la gráfica, nos encontramos con que la pendiente de la recta secante  es [pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

La tabla de la izquierda muestra los resultados de cálculos similares para las pendientes de otras rectas secantes. De esta tabla se esperaría que la pendiente de la recta tangente en  se encuentre en algún valor entre -742 y 607.5. De hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es:[pic 52]

[pic 53]

Así, por este método, estimamos la pendiente de la recta tangente como -675.

Otro método consiste en elaborar una aproximación a la tangente en P y medir los lados de triángulo ABC, como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como [pic 54]

• Problema del área

Este problema consiste en determinar el área de una región plana delimitada por gráficas de funciones. Este problema también se puede resolver mediante un proceso del límite. En este caso, dicho proceso se aplica al área de un rectángulo con el fin de encontrar el área de una región en general.

Consideremos la zona acotada por la gráfica de la función , el eje y las rectas verticales  y , como se muestra en la figura 1.3. [pic 59][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

Se puede estimar su área usando varios rectángulos, la aproximación mejora cada vez más, ya que se reduce el área que se pierde mediante los rectángulos. El objetivo es determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos, cuando su número crece

[pic 60]

• Problema de la velocidad

La velocidad muchas veces no es constante, es decir, se tienen velocidades determinadas en cada instante (velocidad instantánea)

Ejemplo 3

Supongamos que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observación de la Torre CN en Toronto, a 460m sobre el suelo. Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos

Solución

Despreciando la resistencia del aire, podemos considerar que la distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo:

[pic 61]

Donde  es la distancia,  el tiempo y 4.9 es proporcional a la constante de gravedad. [pic 62][pic 63]

La dificultad para encontrar la velocidad después de 5s es que se trata de un solo instante de tiempo , por lo que no contamos con un intervalo de tiempo. Sin embargo, podemos aproximar la cantidad deseada mediante el cálculo de la velocidad promedio en el breve intervalo de tiempo de una décima de segundo, desde  hasta [pic 64][pic 65][pic 66]

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