L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Ruben95Tarea8 de Julio de 2013
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Cap´ıtulo 9
L´IMITES Y CONTINUIDAD DE
FUNCIONES
9.1. Introducci´on
El concepto de l´ımite en Matem´aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´on
en un determinado punto o en el infinito.
Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la gr´afica de la figura y fij´emonos en el
punto x =2 situado en el eje de abscisas:
¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos
valores como 2’1, 2’01, 2’001.
Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),
f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.
Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las
im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.
Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos
como:
l´ım
x→2
f(x) = 3
Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el
eje Oy al que se acerca la funci´on, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.
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CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 146
Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:
Definici´on: Dada una funci´on f(x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f(x) cuando x se acerca
a a es L, y se expresa como:
l´ım
x→a
f(x) = L
cuando:
Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| <
Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de
a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´oxima a L.
En la pr´actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como
recordaremos se definen de la siguiente forma:
Definici´on:
Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´on f(x), y se expresa como:
l´ım
x→a+
f(x)
al l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´on f(x) se expresa como:
l´ım
x→a−
f(x)
y se define como el l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
Propiedad: Para que una funci´on f(x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan
ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:
l´ım
x→a
f(x) = l ´ım
x→a+
f(x) = l ´ım
x→a− f(x)
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9.2. Tiposd e l´ımites
Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos:
1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situaci´on del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x
se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funci´on se hace
cada vez mayor:
l´ım
x→a+
f(x) = +∞
(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).
De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la
izquierda).(Dibuja el que falta)
CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 148
Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´on
entre ellos, por ejemplo:
En la figura anterior se cumple que:
l´ım
x→2+
f(x) = +∞
y
l´ım
x→2− f(x) = 2
2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞
cuando la funci´on se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
l´ım
x→∞f(x) = b
Gr´aficamente:
En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.
De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.
CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 149
3. L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funci´on se hace
cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).
Un ejemplo gr´afico de este tipo de l´ımites ser´ıa:
En este caso:
l´ım
x→∞f(x) = −∞
(Intenta dibujar otros casos diferentes).
9.3. C´alculo de l´ımites
Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se
presentan diferentes indeterminaciones:
9.3.1. L´ımitese n el infinito
1. L´ımites de polinomios: El l´ımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o
−∞, dependiendo del coeficiente del t´ermino de mayor grado del polinomio:
l´ım
x→∞(2x5 − 3x2 + 5) =+∞
l´ım
x→∞
(−3x7 − 5x2 +4x − 8) = −∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7
es negativo.
2. Indeterminaci´on
∞
∞: Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminaci
´on de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:
Si tenemos:
l´ım
x→∞
p(x)
q(x)
=
±∞ si grado(p(x)) > grado(q(x)),
donde el signo depende de los coeficientes.
0 si grado(p(x)) < grado(q(x))
a
b
si grado(p(x)) =grad o(q(x)), siendo a y b los
coeficientes de los t´erminos de mayor grado de cada polinomio.
Ejemplos: a)
l´ım
x→∞
x3 − 5x2 +6
−x2 + 4
=
∞
∞
= −∞
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porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen
signo diferente.
b)
l´ım
x→∞
x2 − 5
x6 − x4 − 3x2 + 4
=
∞
∞
= 0
porque el grado del denominador es mayor.
c)
l´ım
x→∞
7x3 + 2x − 6
−3x3 + 6
=
∞
∞
= −7
3
porque los grados son iguales.
Nota: La resoluci´on de l´ımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos casos, puesto que:
l´ım
x→−∞
f(x) = l´ım
x→∞f(−x)
es decir:
l´ım
x→−∞
x3 − 5x2 + 4
−x2 +5x
=l´ ım
x→∞
(−x)3 − 5(−x)2 + 4
−(−x)2 + 5(−x)
=l´ ım
x→∞
−x3 − 5x2 +4
−x2 − 5x
=
∞
∞
= ∞
La misma regla anterior sirve en el caso de que aparezcan ra´ıces, siempre que tengan sentido los
l´ımites:
d)
l´ım
x→∞
3 +
√
x3 − 5x
x2 +4
=
∞
∞
= 0
puesto que el grado del denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x es
3
2
, que
es menor que 2.
e)
l´ım
x→∞
√
−x +1+x3
1+ x +3x3 =
puesto que aunque los grados de numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞
(es positivo y muy grande) resulta que −x + 1 es negativo y como es bien conocido, la ra´ız
cuadrada de un n´umero negativo no existe en el cuerpo de los n´umeros reales, por tanto el l´ımite
anterior no tiene sentido.
f)
l´ım
x→−∞
√
−x + 1+x3
1 + x +3x3 =l´ ım
x→∞
−(−x) +1 + (−x)3
1 + (−x) + 3(−x)3 =l´ ım
x→∞
√
x +1 − x3
1 − x − 3x3 =
∞
∞
=
1
3
pues en este caso la ra´ız si tiene sentido y los grados son iguales, quedando el l´ımite el cociente
de los coeficientes de los monomios de mayor grado.
3. Indeterminaci´on ∞−∞: Cuando aparece esta indeterminaci´on, si tenemos una resta de fracciones,
simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos
resolver:
l´ım
x→∞
x2 − x +1
x + 1
− x +3+x2
x − 1
= (∞−∞) = l´ım
x→∞
(x2 − x +1)(x − 1)
(x +1)(x − 1)
− (x+ 3+x2)(x+ 1)
(x − 1)(x +1)
=
=l´ ım
x→∞
x3 − 2x2 +2x − 1
x2 − 1
− x3 + 2x2 + 4x +3
x2 − 1
=l´ ım
x→∞
−4x2 − 2x − 4
x2 − 1
=
∞
∞
= −4
CAP´ITULO 9. L´ IMITES
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