L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Cap´ıtulo 9

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE

FUNCIONES

9.1. Introducci´on

El concepto de l´ımite en Matem´aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´on

en un determinado punto o en el infinito.

Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´on dada por la gr´afica de la figura y fij´emonos en el

punto x =2 situado en el eje de abscisas:

¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos

valores como 2’1, 2’01, 2’001.

Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01),

f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3.

Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las

im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y =3.

Concluimos que el l´ımite de la funci´on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos

como:

l´ım

x→2

f(x) = 3

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´on en un punto es el valor en el

eje Oy al que se acerca la funci´on, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto.

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CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 146

Sin embargo la expresi´on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja:

Definici´on: Dada una funci´on f(x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f(x) cuando x se acerca

a a es L, y se expresa como:

l´ım

x→a

f(x) = L

cuando:

Dado  > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < 

Lo que viene a expresar esta formulaci´on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de

a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´oxima a L.

En la pr´actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como

recordaremos se definen de la siguiente forma:

Definici´on:

Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´on f(x), y se expresa como:

l´ım

x→a+

f(x)

al l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.

De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´on f(x) se expresa como:

l´ım

x→a−

f(x)

y se define como el l´ımite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad: Para que una funci´on f(x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan

ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir:

l´ım

x→a

f(x) = l ´ım

x→a+

f(x) = l ´ım

x→a− f(x)

CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 147

9.2. Tiposd e l´ımites

Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos:

1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situaci´on del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x

se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funci´on se hace

cada vez mayor:

l´ım

x→a+

f(x) = +∞

(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo).

De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la

izquierda).(Dibuja el que falta)

CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 148

Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´on

entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que:

l´ım

x→2+

f(x) = +∞

y

l´ım

x→2− f(x) = 2

2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞

cuando la funci´on se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

l´ım

x→∞f(x) = b

Gr´aficamente:

En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞.

De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.

CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 149

3. L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funci´on se hace

cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).

Un ejemplo gr´afico de este tipo de l´ımites ser´ıa:

En este caso:

l´ım

x→∞f(x) = −∞

(Intenta dibujar otros casos diferentes).

9.3. C´alculo de l´ımites

Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se

presentan diferentes indeterminaciones:

9.3.1. L´ımitese n el infinito

1. L´ımites de polinomios: El l´ımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o

−∞, dependiendo del coeficiente del t´ermino de mayor grado del polinomio:

l´ım

x→∞(2x5 − 3x2 + 5) =+∞

l´ım

x→∞

(−3x7 − 5x2 +4x − 8) = −∞

pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7

es negativo.

2. Indeterminaci´on

∞

∞: Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminaci

´on de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:

Si tenemos:

l´ım

x→∞

p(x)

q(x)

=





±∞ si grado(p(x)) > grado(q(x)),

donde el signo depende de los coeficientes.

0 si grado(p(x)) < grado(q(x))

a

b

si grado(p(x)) =grad o(q(x)), siendo a y b los

coeficientes de los t´erminos de mayor grado de cada polinomio.

Ejemplos: a)

l´ım

x→∞

x3 − 5x2 +6

−x2 + 4

=

∞

∞



= −∞

CAP´ITULO 9. L´ IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 150

porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen

signo diferente.

b)

l´ım

x→∞

x2 − 5

x6 − x4 − 3x2 + 4

=

∞

∞



= 0

porque el grado del denominador es mayor.

c)

l´ım

x→∞

7x3 + 2x − 6

−3x3 + 6

=

∞

∞



= −7

3

porque los grados son iguales.

Nota: La resoluci´on de l´ımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos casos, puesto que:

l´ım

x→−∞

f(x) = l´ım

x→∞f(−x)

es decir:

l´ım

x→−∞

x3 − 5x2 + 4

−x2 +5x

=l´ ım

x→∞

(−x)3 − 5(−x)2 + 4

−(−x)2 + 5(−x)

=l´ ım

x→∞

−x3 − 5x2 +4

−x2 − 5x

=

∞

∞



= ∞

La misma regla anterior sirve en el caso de que aparezcan ra´ıces, siempre que tengan sentido los

l´ımites:

d)

l´ım

x→∞

3 +

√

x3 − 5x

x2 +4

=

∞

∞



= 0

puesto que el grado del denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x es

3

2

, que

es menor que 2.

e)

l´ım

x→∞

√

−x +1+x3

1+ x +3x3 =

puesto que aunque los grados de numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞

(es positivo y muy grande) resulta que −x + 1 es negativo y como es bien conocido, la ra´ız

cuadrada de un n´umero negativo no existe en el cuerpo de los n´umeros reales, por tanto el l´ımite

anterior no tiene sentido.

f)

l´ım

x→−∞

√

−x + 1+x3

1 + x +3x3 =l´ ım

x→∞



−(−x) +1 + (−x)3

1 + (−x) + 3(−x)3 =l´ ım

x→∞

√

x +1 − x3

1 − x − 3x3 =

∞

∞



=

1

3

pues en este caso la ra´ız si tiene sentido y los grados son iguales, quedando el l´ımite el cociente

de los coeficientes de los monomios de mayor grado.

3. Indeterminaci´on ∞−∞: Cuando aparece esta indeterminaci´on, si tenemos una resta de fracciones,

simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos

resolver:

l´ım

x→∞

x2 − x +1

x + 1

− x +3+x2

x − 1

= (∞−∞) = l´ım

x→∞



(x2 − x +1)(x − 1)

(x +1)(x − 1)

− (x+ 3+x2)(x+ 1)

(x − 1)(x +1)

=

=l´ ım

x→∞



x3 − 2x2 +2x − 1

x2 − 1

− x3 + 2x2 + 4x +3

x2 − 1

=l´ ım

x→∞

−4x2 − 2x − 4

x2 − 1

=

∞

∞



= −4

CAP´ITULO 9. L´ IMITES

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