Límites y continuidad de funciones reales

[pic 1][pic 2][pic 3]UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FÍSICAS Y QUÍMICAS

ESCUELA DE INGENERIA CIVIL

INVESTIGACIÓN FORMATIVA

ENSAYO

Tema.

Límites y continuidad de funciones reales.

Autor.

Zambrano Chevez Anthony David.

Profesor guía.

Ing. José Cevallos S. Mg. Sc.

Paralelo “A”.

Periodo académico.

Mayo del 2020 – Octubre del 2020.

Portoviejo – Manabí - Ecuador.

Límites y continuidad de funciones reales.

Limits and continuity of real functions.

Autor.

Zambrano Chevez Anthony David, estudiante de la Universidad Técnica de Manabí de la Facultad de Ciencias Matemáticas Físicas y Químicas; Escuela de Ingeniería Civil, cursando el primer semestre de Cálculo de una variable en el paralelo “A”, de nacionalidad ecuatoriana. Correo: adzc39@gmail.com

 Resumen.

La teoría de límites de una función es indispensable conocer la teoría puesto que es la base sobre el cual se dan los conceptos fundamentales del calculo como son: la continuidad, la derivada, la integral, etc. Antes de dar la definición de límite de una función daremos la idea intuitiva.

Sea  un número real y  una función definida en las proximidades del número “a”, no necesariamente en “a” y denotaremos por  y diremos que:[pic 4][pic 5][pic 6]

• Cuando  se aproxima a “a”,  se aproxima a  o para  próximo a “a”,  esta próximo a  o para  aproximadamente igual a “a”,  es aproximadamente igual a .[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Palabras clave: limite, función, proximidad.

Abstract.

The theory of limits of a function is essential to know the theory since it is the basis on which the fundamental concepts of calculation are given, such as: continuity, derivative, integral, etc. Before giving the definition of the limit of a function, we will give the intuitive idea.

Let L be a real number and f be a function defined in the vicinity of the number “a”, not necessarily in “a” and we will denote by lim┬ (x → a) ⁡ 〖= L〗 and we will say that:

• When x approaches "a", f (x) approaches L or for x close to "a", f (x) is close to L or for x approximately equal to "a", f (x) is approximately equal to.

Key words: limit, function, proximity.

Introducción.

En el ámbito de las distintas ramas de la ingeniería, el cálculo es una parte fundamental para la solución de problemas, predicción de las mismas y para hallar resultados. Así mismo, un tema muy importante dentro del cálculo, es el límite, siendo esta una herramienta con muchas aplicaciones en el mundo laboral. A pesar de que más adelante se verá este concepto, se puede definir como una aproximación o noción de infinito potencial.

Analizando la información de revista Matemática educativa: Aspectos de la investigación actual, un artículo de Hitt^[1] (2003), podemos citar que:

Uno de los primeros problemas en la transformación de la matemática en una ciencia deductiva fue el precisar el concepto de infinito. Los filósofos griegos tuvieron que enfrentar la problemática de entender los procesos infinitos para poder desarrollar la matemática en una ciencia deductiva. Existen evidencias con respecto a lo complejo en la asimilación del concepto de infinito en la “época de oro de los griegos”. Zenón de Elea fue de los primeros en señalar inconsistencias en el uso del infinito dentro de la matemática griega. Son famosas las paradojas de Zenón en donde muestra que cierta concepción del infinito puede producir contradicciones, por ejemplo, “La mitad del tiempo es igual a su doble”. Las paradojas de Zenón parece que no fueron entendidas, y la argumentación de Aristóteles y el axioma de Euclides en sus “Elementos”: “El todo es mayor que sus partes”, intentaban dar por terminada la discusión promovida por Zenón. Otra de sus paradojas, la relativa a Aquiles y la Tortuga también está ligada a la distinción entre el infinito potencial y el actual, “Aquiles no alcanzará a la tortuga pues para eso tendría que pasar por una infinidad de puntos”, para concebir el hecho de que Aquiles alcance a la tortuga debemos pensar en otra idea de infinito: “El infinito actual es la toma de conciencia simultánea de todos los elementos de un conjunto infinito”. La idea de infinito potencial (designando la posibilidad de ir más lejos, continuación indefinida,...) siendo una idea intuitiva tuvo una primacía que no permitió el desarrollo de la idea de infinito actual, que tiene que ver con un proceso terminado. Las paradojas de Zenón permanecieron sin respuesta durante muchos siglos, se siguió utilizando durante mucho tiempo la idea de infinito potencial y evadiendo la noción del infinito actual. De acuerdo a Knobloch (1999, p. 94), Leibnitz en una carta a Varignon en 1702 trató el concepto de infinito basándose en su llamada “Ley de Continuidad” que establece que las mismas reglas que se cumplen en un proceso finito deben conservarse en el proceso al infinito. Es decir, partiendo de propiedades que funcionaban en el caso finito, Leibnitz extrapolaba las propiedades al límite. Muchos seguidores de su idea encontraron resultados interesantes y otros cayeron en contradicciones sin percatarse de ello. Ejemplos que funcionaron sobre procesos infinitos son proporcionados por el propio Leibnitz (1676), por ejemplo en el cálculo de π/4.

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