Limite de una funcion de una variable real

3.2 LIMITE DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL.

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

El conjunto inicial o dominio de la función.

El conjunto final o imagen de la función.

La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

F: R ——–>R

X———>x2.

Asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

Función.

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

EJEMPLO:

Si x→2 según la sucesión (1), f(x)=x2→4 según la sucesión 1, 9/4, 25/9, 49/16, …,(2-1/n)2,… ahora bien, si x→2 según la sucesión

2,1; 2,01; 2,001;… ; 2+1/10n ; …

X2→4 según la sucesión 4, 41; 4,0401; 4,004001; …, (2+1/10n)2; … Parece razonable esperar que x2→4 siempre que x tienda a 2. En estas condiciones se establece que el limite de x2 cuando x tiende a 2 es igual a 4, y representa el simbolismo lim x2 = 4

x→2

Funciones de variable real

Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función .

Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el

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