FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Nombres:

Román Lagunas Víctor Hugo

Zapata Rodríguez José Jahir

Álvarez Herrera Luis Ángel

Materia: Calculo Vectorial

Tema: FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Prof. Zaragoza Rivera Irineo Pedro

[pic 1]

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

1. Límites y continuidad.        
2. Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.        
3. Integración de funciones vectoriales.        
4. Longitud de arco        
5. Vector tangente, normal y binormal        
6. Curvatura
7. Aplicaciones        

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación.

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

[pic 2] 

Donde x (t), y (t) y z (t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t.

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x (t), y (t) y z (t).

La función vectorial también se puede encontrar representada como[pic 3].

Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:

[pic 4]

DOMINIO

El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

[pic 5] 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

[pic 6] 

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x, y, z) donde:

[pic 7] 

Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.  

Límites y continuidad.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Dada una función vectorial  [pic 8] 

[pic 9]

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector [pic 10] se acerca más y más al vector[pic 11]. Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.

CONTINUIDAD

Sea [pic 12] 

[pic 13] [pic 14] , es

Continúa en a sí y sólo si:

Existe el vector [pic 15] 

Existe el  [pic 16] 

[pic 17] 

Teorema: Una función con valores vectoriales r (t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f, g y h son continuas en t = a.

         Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.

Sea la función vectorial [pic 18] entonces diremos que [pic 19]         es la derivada de dicha función y se define mediante:

[pic 20] 

Se acerca más y más al vector[pic 21]. Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.

CONTINUIDAD

Sea [pic 22] 

[pic 23] [pic 24], es

Continúa en a sí y sólo si:

Existe el vector [pic 25] 

Existe el  [pic 26] 

[pic 27] 

Teorema: Una función con valores vectoriales r (t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f, g y h son continuas en t = a.

        Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.

Sea la función vectorial [pic 28] entonces diremos que[pic 29], es la derivada de dicha función y se define mediante:

[pic 30] 

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a  se dice que [pic 31] es derivable en t = a.

Teorema Sea [pic 32] una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f, g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces [pic 33] es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

[pic 34] 

PROPIEDADES

Supongamos que r (t) y s (t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

[pic 35] 

[pic 36] 

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector [pic 37] se le llama vector de posición de la curva y a los vectores [pic 38] y [pic 39]         se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. De modo que la rapidez en un instante t es [pic 40], es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector [pic 41] también se le llama vector tangente a la curva [pic 42] en t, y el vector

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