DERIVADA DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1. DERIVADA DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

Ejercicio Nº1. Dadas las siguientes funciones reales de variable real, determine la función derivada correspondiente, usando la definición.

1. f(x) = x2/3       b) -x2 + 3      c) 2/(x-1)     d) a2x – c2, (a, c ∈ R)

Ejercicio Nº2. Determine la derivada de f: A⊂R→R, en el punto de su dominio x0 = 2, si f(x) = x2 – 3. Diga qué representa el número hallado e interprete en forma gráfica el resultado.

Ejercicio Nº3. Estudie la derivabilidad de la función f: R→R+, con imagen f(x) = |x - 1| en el punto x= 1.

Ejercicio Nº4. Determine la derivada de las siguientes funciones reales de variable real, con imagen dada por:

1. f(x) = x4       b) g(x) =  –x2/3+x/2     c) f(x) = [pic 1]    d)  g(x) = π +[pic 2]     

e) f(x) = x/4 – x/2     f) 3x5- x4 + 2/3 x3- x + 3    g) [pic 3]x + x – 3

Ejercicio Nº5. Derive las siguientes funciones reales de variable real.

1. f(x) = -a sen x     b) g(x) = cos x /3     c) f(x) = tan x    d) F(x) = x · 3 sen x

e) F(x) = senx – cos x     f) F(x) = 1/senx    g) F(x) = x2/(x-2)   h) g(x) = sec x

Ejercicio Nº6. Encuentre la derivada de las siguientes funciones reales de variable real.

1. F(x) = x2 · (x3- 4)    b) F(x) = (x · ex)/2    c) f(x) = ln x   d) g(x) = e – x + senx

e) F(x) = 2 · ex/2    f) g(x) = -1/lnx    g) F(x) = 3/(x – e – x)   h) f(x) = ax

f) f(x) = [pic 4]     g) h(x) = xx    h) f(x) = alnx -2

Ejercicio Nº7. Derivada de funciones compuestas.

1. F(x) = sen2x    b) G(x) = [pic 5]    c)  F(x) = sen(x2 – 1)    d) f(x) = e –cosx

e) h(x) = ln(x/2)    f) j(x) = 2(x – 3)3    g) h(x) = ln (1/x)2   h) F(x) = (tan π)3/2

Ejercicio Nº8. Halle la derivada de:

1. F(x) = -3 sen (x/2) + [pic 6]      b) F(x) = ln2(2/x) – sen(x3)  c) f(x) = 2x/(x+1)2

Ejercicio Nº9. Dada la función f: D⊂R→R, biyectiva, escriba la expresión que permite hallar la derivada de f – 1, conociendo la derivada de f y ejemplifique.

1. DIFERENCIABILIDAD.

Ejercicio Nº10. Diga si las siguientes funciones reales de variable real, con dominio D⊂R,  son diferenciables en todo x0 ∈ D.

1. f(x) = x2    b) f(x) = -x2 +2x – 3   c) f(x) = ax2 + bx + c

1. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ejercicio Nº13. Regla de L´Hôpital.

1. Si f(x) = x2/(2 – x), hallar: i)[pic 7] ii) [pic 8], con m hallado en i).

Si f(x) = (x2 – 1)/x2, hallar  [pic 9]  c)  [pic 10]      d)  [pic 11]

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