Definición de funciones vectoriales de variable real y curvas en R3

3.1 DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL Y CURVAS EN R3.

Una curva en el plano así como una curva plana C en el espacio tridimensional pueden definirse mediante ecuaciones paramétricas. Al emplear las funciones como componentes en un conjunto de ecuaciones paramétricas, se puede construir una función de valores vectoriales cuyos valores son los vectores de posición de los puntos sobre la curva C.

En la unidad anterior, se introdujeron las ecuaciones paramétricas al considerar una partícula que se mueve en un plano, de modo que las coordenadas (x,y) de su posición en cualquier instante t están determinadas por las ecuaciones x=f(t), y y=g(t) en el intervalo [a,b]. Si se extiende al espacio tridimensional, donde las coordenadas (x,y,z) de la posición de la partícula en cualquier tiempo t están dadas por las tres ecuaciones paramétricas:

x=f(t) y=g(t) z=h(t) en el intervalo [a,b]

Como en la unidad anterior, la orientación de la curva C corresponde a valores crecientes del parámetro t. Para cualquier posición de la partícula existe un vector y los puntos terminales de las representaciones de posición de estos vectores determinan una curvatura recorrida por la partícula, lo cual conduce a la definición de función vectorial.

Sean f(t), g(t), y h(t), funciones reales de variable real t, entonces, se define la función vectorial R(t) en el espacio tridimensional mediante la expresión:

R(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k

Donde t es cualquier número real del dominio común de f(t), g(t), y h(t),

En el plano, una función vectorial R(t) se define por la expresión:

R(t)=f(t)i+g(t)j

Donde t pertenece al dominio común de f(t) y g(t)

Las funciones vectoriales R(t) son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores. El dominio de R(t) es el conjunto de valores de t para los cuales las funciones están definidas, para definirlo se hace un análisis para cada función y el dominio se obtiene por las partes comunes en que existe.

EJERCICIO 3.1:

Determine el dominio de la siguiente función vectorial:

R(t)=(4-t^2 ) i+(t^2+4t) j

R(t)=√(t-2) i+1/(t-3) j+Ln t k

R(t)=t^3 i+Ln(3-t)j+√t k

TAREA 3.1:

Encuentre el dominio de la función vectorial dada:

R(t)=√(t^2-9) i+3j

R(t)=1/t i+√(4-t) j

R(t)=Sen t i+Ln t j+(t^2-1)/(t-1) k

R(t)=Ln(4-t^2 )i+√(1+t) j-4e^3t k

R(t)=√(t^2-9) i+Ln|t-3| j-(2t-8) k

3.2 GRÁFICAS DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL.

Supóngase que en la función vectorial R(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k sus componentes f(t), g(t), y h(t) son funciones de valor real continuas en un intervalo I; entonces, al conjunto de todos los puntos (x,y,z) en el espacio en donde las ecuaciones paramétricas:

x=f(t) y=g(t) z=h(t)

con el parámetro t que varía a lo largo del intervalo [a,b], se llama CURVA EN EL ESPACIO.

EJERCICIO 3.2:

Trazar la gráfica de la curva para cada ecuación vectorial dada:

R(t)=(3-2t)i+(2+2t)j+(-1+6t)k en el intervalo 0≤t≤1

t 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

y

z

R(t)=2Cos t i+2Sen t j+t k en el intervalo 0≤t≤4π

t 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π

x

y

z

GRÁFICAS DE FUNCIONES UTILIZANDO EL SOFTWARE MATLAB.

A partir de las ecuaciones paramétricas se puede realizar la gráfica de la ecuación de una función de variable real, y la gráfica pudiera ser que se realizara de una manera muy simple o fuese muy difícil, afortunadamente, en la actualidad puede recurrirse al uso de la computadora y programas graficadores o software para graficar como es el caso del Matlab, Mathematica, Derive, entre otros. En este caso se utiliza el software Matlab para realizar ejercicios de graficas de una función

EJERCICIO 3.3:Utilice el Matlab para realizar gráficas de funciones vectoriales.

Gráfica desarrollada en MATLAB, de la ecuación vectorial

R(t)=2Cos(t)i+2Sen(t)j+tk

Gráfica desarrollada en MATLAB, de la ecuación vectorial

R(t)=(3-2t)i+(2+2t)j+(-1+6t)k, en el intervalo 0≤t≤1

Gráfica desarrollada en MATLAB, de la ecuación vectorial (2 dimensiones)

R(t)=(4-t^(2)) i+(t^2+4t)j

Gráfica desarrollada en MATLAB, de la ecuación vectorial

R(t)=ti+t^2 j+t^3 k

TAREA 3.2:

Trazar manualmente la gráfica de cada función vectorial (realícelo en papel milimétrico con una escala adecuada):

R(t)=(4-4t)i+(2-2t)j+3t k, en el intervalo [0, 2].

R(t)=Cost i+Sen t j+t k, en el intervalo [0, 2π].

Utilizar el Matlab para trazar la gráfica de cada función vectorial, utilice linspace(a,b,600) en el intervalo indicado:

R(t)=4Cos t i+t j+2 Sen t k, en el intervalo [-12π, 12π].

R(t)=tCos t i+t Sen t j+t k, en el intervalo [-12π, 12π].

R(t)=Sen 6t i+t j+t k, en el intervalo [0, 2π]

3.3) LÍMITES Y OPERACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL.

Límite de una función vectorial R(t) se define por los límites por separado de cada una de sus funciones componentes.

R(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k

R(t)=f(t),g(t),h(t)

〖lim〗┬(t→a)⁡R(t) =[lim┬(t→a)⁡〖f(t)〗,lim┬(t→a)⁡〖g(t)〗,lim┬(t→a)⁡〖h(t)〗 ]

Siempre que existan los límites de sus

...