Funciones vectoriales de variable vectorial

Una función vectorial de variable vectorial es una correspondencia de un conjunto  de[pic 1]

vectores a un conjunto  de vectores de tal manera que para cada vector  existe un[pic 2][pic 3]

vector , es decir, es una transformación del conjunto  en el conjunto . [pic 4][pic 5][pic 6]

Si es un conjunto de  y  es un conjunto de  entonces diremos que   es una[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

función de  en  cuya notación es: [pic 12][pic 13][pic 14]

Ejemplo. - Las funciones y son funciones de este tipo de funciones.[pic 15][pic 16]

Ejemplo. - La función  definida por  es una función vectorial de dos variables.[pic 17][pic 18]

Ejemplo. - El gradiente de una función de es una función de. Sí , , de donde [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Luego tal que  [pic 23][pic 24]

Observación. - Las funciones vectoriales de una parte del plano  o del espacio con rango un conjunto de vectores de es definido por:[pic 27][pic 25][pic 26]

 [pic 28]

.[pic 29]

[pic 30]

Si el rango de la función vectorial es un conjunto de vectores de  , estas funciones son definidas por:[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

donde ,  y  se denominan funciones componentes o funciones coordenadas.[pic 34][pic 35][pic 36]

En los problemas físicos, a las funciones vectoriales  de  en  le llaman campos vectoriales.[pic 37][pic 38][pic 39]

Ejemplo. - La función  es el campo de velocidades de una corriente estacionaria[pic 40]

de un fluido (es decir, con velocidad independiente del tiempo).

A cada punto  del fluido corresponde un vector  velocidad de una partícula[pic 41][pic 42]

en el punto.  [pic 43]

Ejemplo. - Consideremos la curva.        

[pic 44]

campo de vectores tangentes de la curva. [pic 45]

Ejemplo. - Sea una superficie.[pic 46]

[pic 47]

Campo de vectores normales a una superficie.

Ejemplo.-

[pic 48]

Campo de velocidad de un cuerpo en rotación

Ejemplo. - Suponga que un objeto esférico de masa  (por ejemplo, la tierra) tiene su centro en el origen.[pic 49]

Deduzca la formula del campo gravitacional de la fuerza ) ejercida por esta masa[pic 50]

sobre un objeto ubicado en el punto del espacio.[pic 51]

Solución

Supongamos que se puede manejar el objeto de masa M como un punto de masa situado en el

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