Funciones Vectoriales

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental

Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana

Cátedra: Ingeniería Civil

Núcleo-Guatire Extensión Caucagua

San Joséº

Profesor: Integrantes:

Ramón Machado Gragirena Erinson

C.I.22.387.173

San José 17/03/2015

Introducción

Representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma \varphi:\R^n \to \R^n.

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.

Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.

Cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial.

Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada vectorial se define con respecto al variable tiempo. Entonces la derivada de esta función se denota como,

Si nos referimos a un objeto que se mueve, diríamos que el objeto tiene movimiento si cambia de posición a través del tiempo. Entonces, se define el movimiento como un cambio de posición de un cuerpo con respecto a otro cuerpo (donde se sitúa un observador), durante un espacio de tiempo.

Funciones vectoriales

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parame trizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil de r(t)

Calculo de funciones vectoriales

Límites y continuidad

La función fundamental de límite de una función vectorial se define en términos de los límites de las funciones componentes

Lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t)

t a t a t a

TEOREMA

Si lim t a r1(t) = L1 y lim t a r2 (t) = L2 entonces

• Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar

Derivadas de funciones vectoriales

La derivada de una función vectorial r es

r'(t) = lim 1/t [r (t +t) - r(t)]

TEOREMA

Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>, en donde f,g,h son diferenciables, entonces

r'(t) =< f'(t). g'(t).h'(t)>

Interpretación geométrica de r'(t)

Si el vector r't no es 0 en un punto p, entonces puede dibujarse tangente a la curva en

Derivadas de orden

Las derivadas de orden superior( o sucesivas) de una función vectorial se obtiene también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada tenemos r'' = f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k.

Regla de cadena

Si r es una función vectorial diferenciables y s = u(t) es una función escalar diferenciable, entonces de r(s) con respecto a t es

Integrales de funciones vectoriales

Si f, g y h son integrables, entonces las integrales indefinida y definida de una función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se definen respectivamente por:

Movimiento sobre una curva

Velocidad y aceleración

Supóngase que un cuerpo o una partícula móvil describe una trayectoria C, y que su posición en ella está dada por la función vectorial

R(t) = f(t)i + g(t)j +h(t)k

En donde t representa el tiempo. Si f, g y h tienen segundas derivadas, entonces los vectores

V(t) = r'(t)= f'(t) + g'(t)j + h'(t)k

a(t) =r''(t) =f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k

Se llaman velocidad y aceleración de la partícula, respectivamente. La

Función escalar øv(t)ø= ødr/dtø ="(dx/dt)2+ (dy/dt)2+dz/dt)2

La longitud está relacionada con la longitud de arco s mediante s'(t) =øv(t)ø

s = " øv(t)ø dt

Movimiento en el Espacio

Posición: La posición sirve para determinar en cada instante, el punto sobre la trayectoria donde se encuentra el móvil.

-Vector posición: la posición de un móvil sobre una trayectoria se puede definir mediante la vector posición. Este vector es constituido por un punto p del plano, el cual se determina mediante sus distancias mínimas a dos o tres ejes de coordenadas cartesianas, llamadas coordenadas de posición del punto.

-Trayectoria: La trayectoria de un móvil es el camino que describe durante su movimiento, dependiendo del tipo de trayectoria, el movimiento puede ser rectilíneo o curvilíneo:

Rectilíneo: se dice que es rectilíneo cuando la trayectoria es una línea recta.

Curvilíneo: se dice que es curvilíneo cuando la trayectoria es una curva.

Es muy importante no confundir el vector posición con la trayectoria, ya que no podría obtenerse una trayectoria hasta que no se tenga un conjunto de vectores de posición.

En cuanto a la expresión de una vector posición y una trayectoria en el espacio, debemos tomar en cuenta la naturaleza

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