Demostración de las leyes de Kepler con funciones vectoriales.

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Civil

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INTEGRANTES:

-AUCARURI CALDAS, Daniel Augusto
-SANTOS GOMEZ, Ricky Alexis
-VASQUEZ GUTIERREZ, Zamir William

2016-II

FUNCIONES VECTORIALES EN EL MOVIMIENTO DE CUERPOS EN EL ESPACIO

INTRODUCCIÓN

A través del tiempo, el hombre siempre ha observado el movimiento de los astros principales junto con las estrellas y con el intento de darles un modelo de su posición con respecto a la Tierra se dieron a conocer diferentes teorías, como la geocéntrica y la heliocéntrica. Una vez descritas estos modelos, para darles una seguridad científica, se les tuvo que dar un modelamiento matemático que respalde estas teorías y las demuestre en este lenguaje universal que todo científico debe comprender. Se llegó a la conclusión de que el sistema heliocéntrico es la más acertado por la facilidad de los planteamientos de las funciones vectoriales de posición y el cumplimiento de los valores de tiempo y áreas recorridas por los planetas según los estudios de Tycho Brae y posteriormente Kepler.

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APLICACIONES

Las leyes de Kepler se encontraron luego de hacer infinidades de pruebas con diferentes funciones que cumplieran con los datos obtenidos en las décadas de mediciones que invirtió Tycho Brae. Pero posteriormente, luego de 60 años exactamente, con la ayuda de las matemáticas y el conocimiento del cálculo de Newton en las matemáticas y las funciones vectoriales, se puede demostrar fácilmente estas leyes.

PRIMERA LEY

Utilizando un sistema coordenado con el sol en el origen y haciendo ver que =r(t) es el vector posición del planeta. El vector velocidad es  y el vector aceleración [pic 3][pic 4][pic 5]

Sabemos por la 2da ley del movimiento: [pic 6]

Y la ley de la gravitación universal:         [pic 7]

Donde F es la fuerza de gravitación de un planeta, M y  son las masas del planta y del Sol, G es la constante de gravitación, ur el vector unitario de la dirección de [pic 8]

Primero demostramos que el planeta se mueve en un plano, igualando las dos expresiones encontramos que:    [pic 9]

Entonces  es paralelo a .[pic 10][pic 11]

Por tanto [pic 12]

Donde  es un vector constante que es perpendicular a  para cualquier valor de t, el plano es en todo momento perpendicular a este vector.[pic 13][pic 14]

Escribimos el nuevo vector de esta manera:

[pic 15]

Entonces:                 [pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Y así:                         [pic 19]

Integrando a ambos lados tenemos: [pic 21][pic 20]

Conviene elegir los ejes coordenados de modo que el vector  del modelo base apunte en la doreccion del vector . Entonces el planeta se desplaza en el plano xy. Esto significa que se puede escoger que el vector  quede en dirección de . [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Si el ángulo  es el ángulo entere  y  entonces  son las coordenadas polares del planeta. Según la ecuación tenemos:[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

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