PLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES

PLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES

14 octubre 2009

MATEMATICAS III

APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES

Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores.

x= f (t) x=g (t) x=h (t)

A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en:

* Geometría

* Física

* Ingeniería

Las aplicaciones goemétricas incluyen la longitud de arco, vectores tangentes, normales a una curva y curvatura.

En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.

DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL:

Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcion vectorial R mediante:

R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k

donde t es un número real del dominio común de f, g y h. En el plano, se define una funcion vectorial R mediante:

R(t)= f (t) i + g (t) j

Donde t pertecene al dominio común de f y g.

Por ejemplo:

R(t)= f (t) i + g (t) j

R(t)= (4-t2)i + (t2+4t) j

x = 4 – t 2 y = t 2 + 4 t

1

La ecuación vectorial de una curva proporcionada a una dirección a la curva en cada punto. Esto si se piensa que la curva esta descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida de tiempo, de modo que el vector R(t) se le llama vector de posición.

Al eliminar t de las ecuaciones parámetricas se obtiene dos ecuaciones en x , y y z, son ecuaciones cartesianas de la curva C. La gráfica de la ecuación cartesiana es una superficie, y C es la intersección de dos superficies. Las ecuaciones de cuales quiera dos superficies que contienen C pueden considerarse como las ecuaciones que definen C.

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea :

R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k

Entonces el límite R(t) cuando tiende a a esta definido por

lim R(t) = [ lim f (t) ]i + [lim g (t) ] j + [lim h (t) ]k

t a t a t a t a

si lim f (t) i, g (t) j, h (t) k existen

t a t a t a

Esta función se aplican a las funciones vectoriales del plano a considerar la componente K como cero(0).

Por ejemplo:

si R(t)= cos t i + 2et j + 3k

lim R(t) =[ lim cos t ]i + [lim 2et] j + [lim 3 ]k

t 0 t 0 t 0 t 0

= i+2j+k

Considere la siguiente figura a fin de obtener una interpretación geométrica de la definicion de límite de una función vectorial. Donde R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k, lim f(t) = a1, lim g (t) =a2, lim h (t) =a3,

t a t a t a

y L =a1 i, a2 j, a3 k. La función vectorial R define la curva C, la cual contiene los puntos Q=f (t) , g (t) , h (t) y p=(a1 , a2 , a3 ). Las representaciones de los vectores R y L, son respectivamente vector OQ y vector OP, confirme t se aproxima a a R(t) tiende a L, de modo que el punto Q se aproxima al punto P a lo largo de C.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

La función vectorial R es continua al número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

I.- R(a)existe

II.- lim R(t) existe;

t a

III.- lim R(t) =R(a) ;

t a

De esta definición, una definición vectorial es continua en el número a si y solo si sus componentes reales son continuas en a.

Por ejemplo:

determine los números en los que la siguiente función es continua:

R(t)= sen t i+ ln t j + t 2 – 1 k

t -1

Solución:

Puesto que sen t está definido para todos los números reales, ln t está definida sólo cuando t>0, y y(t 2 – 1 )/(t – 1 ) está definida en todo número real distinto de 1, el dominio de R es {t | t >0 y t ≠ 1}. Si a es cualquier número del dominio de R entonces:

R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k

R(t)= sen t i + ln t j + t 2 – 1 k

t -1

t a t a t a

R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k

Así lim R(t) = R(a), y R es continua en a.

Por lo tanto, la función vectorial R es continua en cada número de su dominio.

VECTOR TANGENTE UNITARIO

Ahora se asociarán a cada punto de una curva de dos vectores, el vector tangente unitario y el vector normal unitario. Estos vectores aparecen en muchas aplicaciones de las funciones vectoriales.

DEFINICION DE VECTOR TANGENTE UNITARIO

Si R(t) es el vector de posición de una curva C en el punto P de C el Vector Tangente Unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección de Dt R(t) si Dt R(t) ≠ 0.

Como el vector unitario en la dirección de Dt R(t) está dado por Dt R(t) / || Dt R(t) ||, entonces:

T(t) = Dt R (t)

|| Dt R(t) ||

T(t) es el vector unitario, Dt R(t) debe ser ortogonal a T(t). Mientras Dt T(t) que no necesariamente el un vector unitario, el vector Dt T(t) / || Dt T(t) || es unitario y tiene la misma dirección de Dt T(t). Por tanto, Dt T(t) / || Dt T(t) || es un vector ortogonal a T(t), y se denomina vector normal unitario.

DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL UNITARIO

Si T(t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C el Vector Normal Unitario, denotado por N(t), es el vector unitario en la dirección de Dt T(t) .

N(t)= Dt N (t)

|| Dt N(t) ||

Ejemplo:

Calcule T(t) y N(t) para la curva que tiene la ecuación vectorial.

R(t)=(t 3 – 3t)i + 3 t 2 j

Dibuje una porcion de la curva que contenga al punto donde t=2 y las representaciones de t(2) y N(2) cuyo punto inicial es pra el cual t=2.

Dt R (t)=(3t 2 – 3)i + 6 t j || Dt N(t) ||= √ (3t 2 – 3)2i + (6 )2

= √ (3t 2 – 3)2i + 36 t 2 = √ 9 ( t 4 – 2t2)i + 1= 3 ( t 2 )i + 1

De(1):

T(t)= Dt R (t) = t 2 – 1 i + 2t j

|| Dt R(t) || t 2 + 1 t 2 + 1

al diferenciar T(t) con respectoa t se obtiene.

Dt T (t) = 4t i + 2 – 2 t 2 j

(t 2 + 1)2 (t 2 + 1)2

Por tanto:

||Dt T (t) ||= √16 t 2 + 4 – 8 t

...