SEMINARIO DE PROBLEMAS DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES

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SEMINARIO DE PROBLEMAS

DERIVACION DE FUNCIONES VECTORIALES

1. En los siguientes ejercicios hallar :[pic 4]

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1. En los siguientes ejercicios hallar a) , b)  y c)  y  d) [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

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3.  , [pic 13]

1. En los siguientes ejercicios, Hallar: a)  y b) , en dos diferentes métodos i) Hallar primero el producto y luego derivar, ii) Aplicar las propiedades de las derivadas.   y [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

1. Dado  [pic 18]

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1. Dado la curva: , , , encontrar el vector unitario tangente en un punto cualquiera de la curva y cundo .[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

1. Desarrollar los siguientes ejercicios:

1. El vector de posición de una partícula móvil viene dado, en función del tiempo, por . Calcular: a), b) , c) , d) .[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

1. Hallar el gradiente de  en el punto , siendo .[pic 30][pic 31][pic 32]

1. Hallar  siendo:  y .[pic 33][pic 34][pic 35]

1.  . Hallar:  Para el punto .[pic 36][pic 37][pic 38]

1. Hallar , siendo  y calcular .[pic 39][pic 40][pic 41]

1. En los ejercicios hallar  para las condiciones dadas:[pic 42]

1. ;  y [pic 43][pic 44][pic 45]

1. ; [pic 46][pic 47]

1. Desarrollar los siguientes ejercicios:

1. Sea el campo vectorial . a) Averiguar si este campo es conservativo y, si lo fuese, determinar la función potencial correspondiente. b) En cualquier caso, calcular la circulación de este campo vectorial entre los puntos  a lo largo de la recta que los une.[pic 48][pic 49]

1. Calcular el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de fuerzas donde  en la curva , ,  desde a [pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

1. Si . Evaluar  alrededor de la trayectoria que se muestra.[pic 56][pic 57]

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1. Si . Evaluar  alrededor de la trayectoria que se muestra.[pic 59][pic 60]

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1. Con base en observaciones, la velocidad de un atleta puede aproximarse por medio de la relación , donde  y  se expresan en  y millas, respectivamente. Si se sabe que   cuando , determine a) la distancia que ha recorrido el atleta cuando , b) la aceleración del atleta en  cuando , c) el tiempo requerido para que el atleta recorra .[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

1. Un punto material que pende de un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición y de signo contrario. Suponiendo que  y que la velocidad del punto es de  hacia arriba cuando pasa por el origen. a) Determinar la velocidad del punto en función de su posición. b) Si el punto se halla en el origen en el instante , determinar su posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.[pic 72][pic 73][pic 74]
2. Una bola de boliche se deja caer desde una lancha, de manera que golpea la superficie del lago con una rapidez de . Si se supone que la bola experimenta una aceleración hacia abajo   cuando está en el agua, determine la velocidad de la bola cuando golpea el fondo del lago.[pic 75][pic 76]

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1. Dada las gráfica de la rapidez en función del tiempo, construir las gráficas correspondientes de la posición en función del tiempo y de la aceleración en función del tiempo. . [pic 78]

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1. Dada las gráfica de la aceleración en función del tiempo, construir las gráficas correspondientes de la posición en función del tiempo y de la rapidez en función del tiempo.  y .[pic 80][pic 81]

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1. Al pasar un cazador por un punto del terreno, se levanta una perdiz que allí reposaba y, emprende un vuelo rectilíneo. El cazador dispara y el ave es herida  después del disparo y cae desde  de altura sobre el terreno, que es horizontal. Se supone que la trayectoria del proyectil es parabólica y se ha observado que ambas trayectorias se han cortado ortogonalmente. Se pide: a) El ángulo   de la trayectoria del ave con el suelo. b) la longitud  recorrida en el vuelo. c) El ángulo  con la horizontal con que se ha disparado la escopeta. d) Velocidad inicial  del proyectil y la altura máxima   alcanzada por este.[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]

1. Un montañista planea saltar desde  hasta  por encima de un precipicio. Determine el valor mínimo de la velocidad inicial   del montañista y el valor correspondiente del ángulo   para que pueda caer en el punto .[pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94]

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1. Una pelota de golf es golpeada con una velocidad de 80 pies/s como se muestra. Determine la distancia d donde aterrizara.

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1. Las ecuaciones  y , donde  está en segundos, describen la posición de una partícula. Determine el vector velocidad y aceleración, así como las magnitudes de la velocidad y aceleración en el instante .[pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

1. El cohete ha sido disparado verticalmente y es seguido por el radar que se representa. Cuando  llega a , las otras mediciones correspondientes dan los valores ,  y . Dibujar los diagramas de la velocidad y la aceleración, así como también hallar la velocidad y la aceleración del cohete para esa posición.[pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]

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1. Un automóvil viaja por el tramo curvo de la carretera plana con una velocidad que disminuye a razón de  cada segundo. Al pasar por el punto , su velocidad es . Calcular el módulo de la aceleración total cuando pasa por el punto  situado a  más allá de . El radio de curvatura en el punto  es .[pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116]

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1. La bajada tiene forma hiperbólica, es decir, donde  está en metros. Una bola que rueda descendiendo la bajada pasa por el punto A () tiene una velocidad de  que aumenta a razón de . Determinar las componentes normal y tangencial de la aceleración.[pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122]

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1. Las gotas de lluvia caen verticalmente y un estudiante que camina a una velocidad de  tiene que inclinar su paraguas en  para no mojarse. a) ¿Por qué el estudiante tiene que inclinar el paragua?, b) ¿Con que velocidad están cayendo las gotas? c) ¿Si el estudiante apura la marcha a , cuál debe ser la nueva inclinación del paraguas para no mojarse?[pic 124][pic 125][pic 126]

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1. En una competencia hay que cruzar en canoa, un rio de  de ancho, desde un sitio  hasta otro sitio , en la orilla opuesta a  aguas abajo. Para romper el record anterior la travesía debe hacerse en dos minutos y medio. Sabiendo que la velocidad de la corriente del rio es , determine: a) la dirección que debe llevar la proa de la canoa, b) la velocidad de la canoa respecto a la tierra.[pic 133][pic 134][pic 135][pic 136][pic 137]

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1. En la figura, el bloque  se mueve hacia la izquierda con celeridad de , disminuyendo a razón de  y el bloque  esta fijo. Determinar la velocidad y la aceleración del bloque , la velocidad de  relativa a  y la aceleración de  relativa a .[pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 156][pic 157][pic 158]

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1. En la figura, el ascensor sube con una velocidad de , la cual disminuye a razón de . Determine la velocidad y la aceleración del contrapeso , la velocidad de  relativa a  y la aceleración de  relativa a .[pic 160][pic 161][pic 162][pic 163][pic 164][pic 165][pic 166]

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1. La carga  está inicialmente en reposo cuando se tira del extremo  de la cuerda con la aceleración constante . Determina  para que  se eleve  en .[pic 168][pic 169][pic 170][pic 171][pic 172][pic 173][pic 174]

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1. Hallar la distancia  que sube la carga  durante  segundos si el tambor del mecanismo de izado arrolla el cable a razón de .[pic 176][pic 177][pic 178][pic 179]

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1. El movimiento tridimensional de un punto está descrito por las relaciones: ,  y . a) Calcular la velocidad y la aceleración del punto en el instante . b) Demostrar que la velocidad y la aceleración son perpendiculares para cualquier valor de t.[pic 181][pic 182][pic 183][pic 184]

1. El movimiento tridimensional de un punto está descrito por las relaciones: ,  y . Calcular la velocidad y la aceleración del punto para: a) . b) .[pic 185][pic 186][pic 187][pic 188][pic 189]

1. La rampa de salida de un aparcamiento tiene forma de hélice:  que baja  en cada revolución completa. Para un automóvil que baje por la rampa de manera que   a) Determinar su velocidad y su aceleración cuando . b) Determinar su velocidad y su aceleración cuando  c) Demostrar que la velocidad y aceleración son perpendiculares cuando .[pic 190][pic 191][pic 192][pic 193][pic 194][pic 195]

1. Un automóvil recorre la rampa de salida de un aparcamiento con una celeridad constante de . La rampa es una hélice de diámetro  y paso de rosca  (lo que desciende cada vuelta completa). Determinar el módulo de la aceleración del automóvil cuando desciende por la rampa.[pic 196][pic 197][pic 198]

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1. Un avión desciende dando vueltas de radio constante e igual a . Si lleva una celeridad horizontal de  (constante) y una celeridad hacia debajo de  (que aumenta a razón de ), determinar la aceleración del avión.[pic 203][pic 204][pic 205][pic 206]

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1. Un avión está viajando a una altitud constante de , con una rapidez constante de , dentro del plano cuya ecuación está dada por  y en la dirección de aumento de x. Encuentre las expresiones para , ,  , ,  , y  que se medirían cuando el avión está más cerca de la estación de radar.[pic 210][pic 211][pic 212][pic 213][pic 214][pic 215][pic 216][pic 217][pic 218]

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1. Un avión vuela hacia el oeste con una celeridad constante de  a una altitud constante de . La proyección sobre el suelo de la trayectoria del avión pasa  al norte de una estación de radar. Determinar las celeridades y aceleraciones de rotación , ,  y  que hay que dar a la antena para seguir al avión cuando este en el mismo meridiano que la estación del radar.[pic 220][pic 221][pic 222][pic 223][pic 224][pic 225][pic 226]

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