DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

ÍNDICE

4.1.- DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES………………….2

4.2.- GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES……………………..5

4.3.- CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL………………………………………...…7

4.4.- DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA…………………………………………………..10

4.5.- DERIVADA DIRECCIONAL……………………………………………………...14

4.6.- DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR………………………….21

4.7.- INCREMENTOS, DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA…………...23

4.8.- DERIVACIÓN PARCIAL IMPLÍCITA……………………………………………26

4.9.- GRADIENTE……………………………………………………………………….27

4.10.- CAMPOS VECTORIALES………………………………………………………30

4.11.- DIVERGENCIA, ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA…………………………………………………………………………………….32

4.12.- VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES…….33

5.1.- INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………..37

5.2.- INTEGRAL DE LÍNEA…………………………………………………………….38

5.3- INTEGRALES INTERADAS DOBLES Y TRIPLES……………………………44

5.4.-APLICACIÓNES A ÁREAS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS……………….46

5.5- INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES………………………..50

5.6.- COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS……………………………..55

5.7 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS Y ESFERICAS…………………………………….58

BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………….60

4.1.- DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.

Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable independiente (x)  que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla. 

Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale algo diferente, procesado:

[pic 1]

La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y = f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un solo factor. Estas son funciones de varias variables. 

Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z. 

[pic 2]

Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de como se ve una función de tres variables es el siguiente:

[pic 3]

Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies tridimensionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera. Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo? Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe con la definición de función. 

4.2.- GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.

Gráfica de funciones de dos variables

Existen varias maneras de visualizar una función de dos variables, en esta sección lo haremos mediante una superficie en el espacio tridimensional.

Observación: La gráfica de una función de dos variables [pic 9] puede interpretarse geométricamente como una superficie [pic 10] en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano [pic 11] es [pic 12], el dominio de [pic 13].En consecuencia, a cada punto [pic 14] en[pic 15] le corresponde un punto [pic 16] en la superficie y, a la inversa, a cada punto [pic 17] en la superficie le corresponde un punto [pic 18] en [pic 19] (figura 1).

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