Funciones De Variable Real

Funciones reales de variable real

Demostraci¶on de: Propiedades del valor absoluto 179 de la p¶agina 85

Propiedades del valor absoluto 179.-

a) jaj ¸ 0, 8 a y jaj = 0 () a = 0 b) jabj = jaj jbj c)

¯¯

a¡1

¯¯

= jaj¡1

d) jaj · k () ¡k · a · k e) ja + bj · jaj + jbj f)

¯¯¯

jaj ¡ jbj

¯¯¯

· ja ¡ bj

Demostraci¶on:

a) jaj ¸ 0 por la de¯nici¶on. Para la segunda parte, si jaj = 0, o bien a = jaj = 0, o bien a = ¡jaj = 0,

luego necesariamente a = 0; la otra implicaci¶on es obvia pues j0j = 0.

b) Consideremos los casos: si a ¸ 0 y b ¸ 0 se tiene jabj = ab = jaj jbj ; si a · 0 y b · 0 se tiene

jabj = ab = (¡a)(¡b) = jaj jbj ; y si a · 0 y b ¸ 0, entonces jabj = ¡ab = (¡a)b = jaj jbj .

c) De 1 = j1j =

¯¯

a¡1a

¯¯

=

¯¯

a¡1

¯¯

jaj , se obtiene el resultado.

d) Si jaj · k , ¶o a = jaj · k que cumple la segunda desigualdad ¶o ¡a = jaj · k , pero entonces ¡k · a y se

cumple la primera. Si ¡k · a · k , se tiene k ¸ ¡a ¸ ¡k , por lo que ¡k · jaj · k .

e) Como 8 x, x · jxj , ¶o ja + bj = a + b · jaj + jbj , o bien ja + bj = ¡a ¡ b · j¡aj + j¡bj = jaj + jbj .

f) jaj = ja ¡ b + bj · ja ¡ bj + jbj , luego jaj ¡ jbj · ja ¡ bj ; y con b se tiene jbj ¡ jaj · jb ¡ aj . Luego

¡ja ¡ bj = ¡jb ¡ aj · ¡(jbj ¡ jaj) = jaj ¡ jbj · ja ¡ bj y por d) se concluye la prueba

...