Funcion Real De Variable Real

Función real de variable real y su representación gráfica

Una relación entre dos conjuntos X y Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x,y) donde x es un elemento de X e y, uno de Y. Una función de X a Y es una relación entre X e Y con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces también tienen el mismo valor de y, La variable x se denomina variable independiente, miestras que la variable y se denomina variable dependiente.

Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones. Por ejemplo, el área A de un cículo es una función de su radio r. A=πr2, A es una función de r.

En este caso, r es la variable independiente y A, la variable dependiente.

Definición de función real de una variable real

Sean X e Y dos conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y.

Las funciones pueden especificarse de muchas maneras. No obstante, en este texto nos concentraremos fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que involucran las variables dependiente e independiente. Por ejemplo, la ecuación

x2+2y=1 (Ecuación en forma implícita)

define y, la variable dependiente, como función de x, la variable independiente. Para evaluar la función (esto es, para hallar el valor de y correspondiente a un valor de x dado) resulta conveniente despejar y.

y=12(1−x2) (Ecuación en forma explícita)

Denotando por f la función, se puede escribir esta ecuación como

f(x)=12(1−x2) (Notación de funciones)

Gráfica de una función

La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x), donde x pertenece al dominio de f. En la figura 1, puede observarse que x es la distancia dirigida desde el eje y, y f(x) es la distancia dirigida desde el eje x.

Figura 1- Gráfica de una función

Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x a lo sumo una vez. Esta observación proporciona un criterio visual adecuado (llamado criterio de la recta vertical) para funciones de x. Por ejemplo, en la figura 2a), puede verse que la gráfica no define y como función de x, ya que hay una recta vertical que corta a la gráfica dos veces, mientras que en las figuras 2b) y 2c) las gráficas si definen y como función de x.

Figura 2

En la figura 3 pueden verse las gráficas de ocho funciones básicas, que uno debe conocer muy bien.

Figura 3- Gráfica de 8 funciones básicas

...