Funciones De Varias Variables

Funciones de varias variables (cálculo diferencial)

Ejemplos de funciones de varias variables:

1) El trabajo realizado por una fuerza (función de 2 variables)

2) El volumen de un paralelepípedo (función de tres variables)

Notación:

Definición: (función de 2 variables)

Sea D un conjunto de pares ordenados. Si a cada par (x,y) de D le corresponde un único número real , entonces se dice que es función de x e y. El conjunto D es el dominio de y el correspondiente conjunto de valores es el recorrido de .

NOTA:

- De las superficies cuádricas, las únicas funciones son el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico.

- El dominio de una función de dos variables puede ser todo el plano XY o una sub región de él.

- El dominio de una función de dos variables es la proyección su gráfico en el plano XY.

Ejemplo1:

Dada la función , hallar el dominio y el recorrido

Solución

La ecuación anterior la podemos escribir como .

La gráfica que corresponde a esta ecuación es un paraboloide elíptico.

Notemos que si graficamos esta ecuación con corte en resulta lo siguiente

En este corte vemos que la proyección del gráfico recortado con el plano XY es la elipse mostrada y el dominio de la función son todos los pares ordenados que están dentro de esa elipse, es decir, Pero como este paraboloide se extiende hasta el infinito, la proyección de la gráfica completa es todo el plano XY. Esto lo podemos ver fácilmente de la ecuación , en donde no hay ninguna restricción para los valores que pueden tomar las variables . Por lo tanto, el dominio son todos los pares ordenados tal que pertenecen al plano , Dominio= .

El recorrido o rango de la función es un número real no negativo, es decir, .

Ejercicio 1:

Hallar el dominio de las siguientes funciones (graficar el dominio)

a) b)

Combinación de funciones de dos variables

1) Suma o diferencia

2) Producto

3) Cociente

Función polinomial: es la que se expresa como suma de funciones de la forma , donde c es un número real, y son enteros no negativos.

Ejemplos:

Función racional:

Es el cociente de dos funciones polinómicas

Nota: Se usa terminología similar para funciones de más de dos variables.

Gráfica de una función de dos variables: Es el conjunto de puntos para los que tal que está en el dominio de . Esta gráfica puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio

Nota: El dominio D es la proyección de la superficie sobre el plano XY

Ejercicio 2: Elaborar la gráfica de y encontrar el dominio y recorrido

Ejercicio 3: Elaborar la gráfica de . Hallar dominio y recorrido.

Derivadas parciales

Definición: (primeras derivadas parciales de una función )

Las primeras derivadas parciales de con respecto a a son funciones definidas por:

siempre y cuando el límite exista.

Observación:

Las derivadas parciales de una función de dos variables, , tienen una interpretación geométrica útil. Si , entonces representa la curva intersección de la superficie con el plano . Por lo tanto representa la pendiente de la curva en el punto .

Ejercicio 4: Encontrar las primeras derivadas parciales de

Ejercicio 5: Encontrar las primeras derivadas parciales de

NOTACION:

1)

2) Las primeras derivadas parciales evaluadas en un punto se denotan por

Derivadas parciales de una función de tres o mas variables

Las derivadas parciales para funciones de 3 variables se definen de manea similar

Observaciones:

1) La función tendrá tantas primeras derivadas parciales como variables independientes tenga

2) Para encontrar la derivada parcial respecto a una variables, las demás se toman como constantes.

En general , si entonces hay n derivadas parciales que se denotan por

Ejercicio 6: Calcular las derivadas parciales propuestas.

a)

b)

c)

Derivadas parciales de orden superior

Segundas derivadas parciales

La función tiene las derivadas parciales de segundo orden siguientes:

1) Derivando 2 veces respecto la variable x :

2) Derivar 2 veces respecto a la variable y:

3) Derivar primero con respecto a , luego con respecto a :

4) Derivar primero con respecto a , luego con respecto a :

Los casos 3 y 4 se conocen como derivadas parciales cruzadas

Teorema: (Igualdad de derivadas cruzadas)

Si es una función de tal que son continuas en la región R, entonces para cada en R se tiene que: .

Nota: El teorema también se aplica a funciones de tres o más variables. Asi, se tiene que:

Ejercicio 7:

Dada , hallar las derivadas parciales segundas y evaluar dichas derivadas en (1,-1).

Ejercicio 8:

Siendo demostrar que:

Diferenciales:

Si , el incremento de z o incremento total vienen dado por . Siendo los incrementos de , respectivamente.

Las diferenciales se definen asi:

La diferencial total:

Si son incrementos de , entonces las diferenciales de las variables independientes son y la diferencial total de la variable dependiente

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