DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
Enviado por deisytorres5 • 13 de Julio de 2022 • Trabajo • 1.307 Palabras (6 Páginas) • 80 Visitas
DERIVADAS DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES
Grupo de ejercicios B
→
“Sean f y g funciones arbitrarias de una sola variable derivable dos veces. Verifique que la
función 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑔(𝑥 − 𝑎𝑡) es una solución para la ecuación 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎 𝑢 ”[pic 1]
𝑥𝑥
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑎𝑡) + 𝑔(𝑥 − 𝑎𝑡)
( 𝑑𝑢 ) = 𝑓𝑥 + 𝑓𝑎𝑡 + 𝑔𝑥 − 𝑔𝑎𝑡[pic 2]
( 𝑑𝑢 ) = 𝑓(1) + 𝑓𝑎𝑡 + 𝑔(1) − 𝑔𝑎𝑡 = 𝑓 (1 + 𝑎𝑡) + 𝑔(1 − 𝑎𝑡)[pic 3]
𝑢 = 𝑓(0) + 𝑓𝑎𝑡 + 𝑔(0) − 𝑔𝑎𝑡 = 𝑎𝑡(𝑓 − 𝑔)
𝑥𝑥
( 𝑑𝑢 ) = 𝑓𝑥 + 𝑓𝑎𝑡 + 𝑔𝑥 − 𝑔𝑎𝑡[pic 4]
( 𝑑𝑢 ) = 𝑓𝑥 + 𝑓𝑎(1) + 𝑔𝑥 − 𝑔𝑎(1) = 𝑓(𝑥 + 𝑎) + 𝑔(𝑥 − 𝑎)[pic 5]
𝑢 = 𝑓𝑥 + 𝑓𝑎(0) + 𝑔𝑥 − 𝑔𝑎(0) = 𝑥(𝑓 − 𝑔)
𝑡𝑡
“entonces”
2
𝑢𝑡𝑡 = 𝑎 𝑢
𝑥𝑥
2
𝑥(𝑓 − 𝑔) = 𝑎 (𝑎𝑡(𝑓 − 𝑔))
2
𝑎 =
𝑥(𝑓−𝑔)
𝑎𝑡(𝑓−𝑔)
𝑥
𝑎𝑡[pic 6]
“ 2 𝑥
𝑎 ≠
𝑎𝑡
, Por ende, no se satisface la ecuación”
→
“Suponga que cierta región del espacio potencial eléctrico V está dado por
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 10𝑥 − 𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦𝑧 − 𝑦 . Determine la razón de cambio del potencial en P(3,4,5) en la dirección del vector 𝑣 = 𝑖 − 𝑗 + 𝑘. ¿En qué dirección cambia V con mayor rapidez en P? ¿Cuál es la razón mínima de cambio en P?[pic 7]
2 2
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 10𝑥 − 𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦𝑧 − 𝑦
( 𝑑 ) = 20𝑥 − 𝑦 + 4𝑦𝑧 ( 𝑑 ) =− 𝑥 + 4𝑥𝑧 − 2𝑦 ( 𝑑 ) = 4𝑥𝑦[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]
𝑓𝑥 = 0
= (20𝑥 − 𝑦 + 4𝑦𝑧, − 𝑥 + 4𝑥𝑧 − 2𝑦, 4𝑥𝑦) = 0
= (20(3) − (4) + 4(4)(5), − (3) + 4(3)(5) − 2(4), 4(3)(4)) = 0
= (60 − 4 + 80, − 3 + 60 − 8, 48) = 0
= (136, 49, 48) = 0
𝑣 = (136, 49, 48) “Cambio de V con layor rapidez”
𝑉 = 20 − 𝑦 + 4𝑦𝑧[pic 13]
𝑥𝑥[pic 14]
𝑉 =− 𝑥 + 4𝑥𝑧 − 2
𝑦𝑦[pic 15]
𝑉 = 4𝑥𝑦
𝑧𝑧
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (96,55,48) “cambio mínimo de V”
→
“Demuestre que las esferas 2 2 2 2 y[pic 16]
tangentes en el punto (a,0,0)”
2 2 2 2
(𝑥 − 𝑏) + 𝑦 + 𝑧 = (𝑏 − 𝑎)[pic 17]
2 2 2 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎
2 2 2 2
(𝑥 − 𝑏) + 𝑦 + 𝑧 = (𝑏 − 𝑎)
2 2 2 2 2 2
𝑥 − 2𝑥𝑏 + 𝑏 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑏 − 2𝑎𝑏 + 𝑎
2 2 2 2 2 2
𝑥 − 2𝑥𝑏 + 𝑏 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑏 =− 2𝑎𝑏 + 𝑎
2 2 2 2
𝑥 − 2𝑥𝑏 + 𝑦 + 𝑧 =− 2𝑎𝑏 + 𝑎
2 2 2
𝑥 − 2𝑥𝑏 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎(− 2𝑏 + 𝑎)
2 2 2
...