Derivada De Una Funcion

DERIVADA DE UNA FUNCION Introducción.-

Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallaránrivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura) que une los puntos

( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices

(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento

de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul por lo que:

tg ah tiende a tg a, es decir,

a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).

Esto se expresa matemáticamente así:

NOTA: Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por

el que después entenderás otros conceptos,

si no es así, dímelo

Derivada de una función en un punto

Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.

Significado de la derivada

Puesto que

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.

Resolución:

Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).

Por tanto, f '(1) = 3.

Calcular la derivada de la función

f(x) = en el punto 2.

Resolución:

(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:

Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto

Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.

Resolución:

La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).

La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma

y - y0 = m (x - x0)

y - 4 = f '(2) (x - 2).

La ecuación de la tangente es entonces

y - 4 = 4(x - 2)

y - 4 = 4x - 8

4x - y - 4 = 0.

Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por

Resolución:

a) Derivabilidad en x1 = 1.

Se han de considerar dos casos:

1º Lo que pasa a la derecha de este punto, para ello consideraremos h>0

Si h > 0, lógicamente (x1 + h) = 1 + h > 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo que la función es la línea recta roja f(x) = x. Por tanto:

f (1) = 1 y f (1+h) = 1 + h

Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.

2º Lo que pasa a la

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