Las funciones, el límite y la derivada.

UNIDAD 2

Las funciones,

el límite y la

derivada.

f ’(x) =m t g =

En la imagen se observa la grafica de una función con siete rectas secantes que pasan por el punto A. Estas se parecen cada vez mas a la recta tangente a la curva en A .A la izquierda (arriba) de la figura aparéese el símbolo matemático de este proceso.

Propósito

Para iniciar este apartado, espero que te hayas acostumbrado a la dinámica de trabajo propuesta al inicio del curso, porque esta metodología es determinante para tu aprendizaje de cálculo.

Antes de que revises el contenido de esta unidad es muy importante que conozcas: que aprenderás, como lograras y para que aprenderás.

¿Qué aprenderás?

 Identificar los tipos de funciones y sus operaciones básicas.

 Aplicar el Método de Fermat para dibujar rectas tangentes a la grafica de una función en puntos conocidos de la grafica.

 Conocer que es y como se resuelve un limite.

 Conocer que es la derivada y como se deriva una función.

 Aplicar un método para localizar el punto mas alto (y mas bajo) de la gráfica de una función.

¿Cómo lo lograrás?

 Resolviendo problemas geométricos y realizando en equipos un trabajo sistemático y ordenado, como se mencionó en la Unidad 1.

 Analizando los resultados de los distintos problemas sobre el trazo de la recta tangente a la grafica de la función en un punto dado, que se te plantearán en esta unidad, descubrirás regularidades o reglas que funcionen en general para determinar el valor de la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la grafica y para cualquier curva. Estas las aplicaras para dibujarle rectas tangentes y localizar su punto mas alto (y mas bajo). También utilizaras la computadora y la calculadora.

¿Para que aprenderás?

 Para relacionar con contextos numéricos y geométricos el significado de los concepto de límite y derivada

2.1

Introducción.

El análisis de los problemas de optimización que hemos realizado hasta el momento nos lleva a la conclusión de que para resolverlos debemos utilizar un método para localizar el punto mas alto o mas bajo de la grafica, puntos en los que, si existe la recta tangente, esta debe ser horizontal.

El problema de encontrar rectas tangentes a curvas ha ocupado la atención de muchos matemáticos a lo largo de la historia .Al principio no hubo un enfoque único y se idearon numerosos métodos para construir tangentes a ciertas curvas especiales; por ejemplo, los geómetras de la antigua Grecia encontraron los métodos para construir rectas tangentes a las cónicas (circunferencias, parábola, elipse e hipérbola).

Estos métodos son particulares para cada cónica, ya que están apoyados en propiedades geométricas exclusivas de cada una y no funcionan para otro tipo de curva. Considerados de manera aislada, estos procedimientos son muy interesantes, toda vez que sirven como ejercicios extraordinarios de razonamiento geométrico; pero en conjunto arrojan poca luz acerca de la esencia de las tangentes, porque cada procedimiento se aplica a un tipo particular de curvas.

Las invención de la geometría analítica por el francés Rene Descartes (1596-1650)a principios del siglo XVII impulsó notablemente la elaboración de un método mas general para construir tangentes a curvas. Descartes ideó un procedimiento conocido hoy en día con el nombre de Método de las Raíces Iguales , que en su tiempo representó un verdadero adelanto en la búsqueda de un proceso uniforme para encontrar rectas tangentes a curvas, aplicable a todas las curvas que pueden ser representadas con una ecuación de segundo grado; sin embargo, este falla cuando se consideran curvas de tercer grado o mayor.

PIERRE DE FERMAT ENCONTRO LA SOLUCION

La solución de las tangentes tuvo que esperar unos años mas hasta que el francés Pierre de Fermat (1601-1655), considerado uno de los mas notables matemáticos del siglo XVII, desarrolló un proceso para determinar la fórmula que calcula la pendiente de cualquier recta tangente a cualquier tipo de curva. La idea desarrollada por este científico es en realidad muy simple y resultó ser tan general que contribuyó en la elaboración de problemas de optimización.

En esta unidad te enfocaráss al análisis detallado del Método de Fermat para trazar rectas tangentes a diferentes curvas. Te permitirá continuar con el estudio de las funciones, además de acercarte a los conceptos matemáticos del limite y derivada. Al resolver el problema de trazar rectas tangentes a la grafica de una función podrás retornar a solucionar los problemas de optimización que trabajaste en la unida anterior de manera mas eficiente.

ESQUEMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD 2

La siguiente gráfica muestra lo que estudiarás en esta unidad y su propósito es que tengas una idea general de los contenidos matemáticos que vamos a abordar en esta parte del curso.

2.2

Repaso del tema de la recta

Para el trabajo de esta unidad requieres conocimientos del tema de la recta. Por esta razón iniciamos con un repaso de este tópico, para darte la oportunidad de que revises nuevamente algunas cuestiones básicas que ya has abordado en los cursos anteriores de matemáticas.

ACTIVIDADES DE REPASO

1 Dibuja una recta y calculo de su pendiente. Traza la recta que pasa por los puntos (-3, -5 ) y ( 2,5 ); determina el valor de su pendiente (que representaremos como m) y menciona si la pendiente es positiva, negativa o cero.

a Localizar los puntos en el plano cartesiano y por ellos traza la recta ( figura 2.1 ).

Figura 2.1 Gráfica de la recta que pasa por los puntos (-3.-5) y (2,5)

b Calcula la pendiente de la recta.

Como y x1 = -3, y1 = - 5, x2 = 2, y2 = 5 sustituyes obteniendo:

Finalmente el resultado es: m = 2.

c Como puedes observar del cálculo

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