Limite De Una Funcion

Límite de una función

La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por la derecha

x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1

f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ¿? 3,003001 3,0301 3,31

f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguientedescripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos

Definición de límite de una función

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.

Ejemplos 1.

1) Utilicemos la definición para demostrar que

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier existe una tal que

si entonces (A)

si entonces

si entonces

si entonces

Entonces, si tomamos se cumple la proposición (A). Esto demuestra que

Tomando , luego, para esos valores de y los números x que pertenecen al intervalo abierto verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:

entonces

Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.

2) Demostrar usando la definición de límite que

Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,

si entonces (B)

si entonces

si entonces

si entonces

si entonces

Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego, entonces, por lo tanto, De la proposición (B) se obtiene que, si entonces Si tomamos se cumple la proposición (B), lo que demuestra que

Ejercicios propuestos 1.

Demuestre, aplicando la definición que el límite es el número indicado.

1)

2)

3)

4)

Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10.

Teorema 1. Límite de una función lineal.

Sea donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.

Teorema 2. Límite de una función constante.

Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

Ejemplo 3.

Teorema 3. Límite de una función identidad.

Sea , entonces

Ejemplo 4.

Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 5.

Sean, y entonces, y

Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.

Si entonces:

Teorema 6. Límite del producto de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 6.

Sean, y entonces,

Teorema 7. Límite del producto de n funciones.

Si entonces

Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de una función.

Si y n es cualquier número entero positivo, entonces

Ejemplo 7.

Sea, entonces,

Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 8.

Sean, y entonces,

Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y , entonces

con la restricción que si n es par, L > 0.

Ejemplo 9.

Sea, entonces

Teorema 12. Límite del logaritmo de una función.

Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces

Ejemplo 10.

Calcule: aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:

Teorema 11. Unicidad del límite de una función.

Si y entonces,

Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

Infinitésimo

La función f es un infinitésimo en el punto a si y sólo si

Ejemplos 10.

1) La función f (x) = x es un infinitésimo en 0 pues

2) La función g (x) = x – 1 es un infinitésimo en 1 porque

3) La función h (x) = sen x es un infinitésimo en 0 ya que

4) La función m(x) = 4-2x es un infinitésimo en 2 pues

5) La función r(x) = cos x es un infinitésimo en porque

Infinitésimos equivalentes.

Dos infinitésimos en un mismo punto son equivalentes, cuando el límite de su cociente es la unidad.

Cuando en un límite, un infinitésimo esté multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro infinitésimo equivalente. La suma de varios infinitésimos de distinto orden se puede reducir al infinitésimo de menor orden.

Infinitésimos más frecuentes en 0.

Ejemplos

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