Grafica Y Limites De Funciones

Introducción grafica a los limites de funciones

Conjunto de los números reales

Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real

Función:

Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y escribimos y=f(x).

Dominio de definición de una función f :

Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom(f).

Recorrido o imagen de una función f :

Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).

Función real de variable real :

Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.

Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función; la segunda, no es la gráfica de una función:

En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.

Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:

Definición de límite

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes

(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden

las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Gráficas interactivas de funciones

Como el lector debe saber muy bien, las funciones reales se pueden representar en el plano cartesiano mediante curvas que son conjuntos de puntos en los que la segunda coordenada se calcula a partir de la primera de acuerdo a una cierta regla de dependencia . Esta regla le asigna a cada elemento x, tomado de un cierto dominio , un valor único .

En el marco de la izquierda se ha incluido la gráfica de una función definida sobre un intervalo cerrado que es su dominio. Pero en realidad esta gráfica es un poco más que eso. Es un programa interactivo que muestra de una manera dinámica la forma en que la variable y depende de la variable x. Si el lector mueve la flecha naranja, que se traslada horizontalmente sobre el eje x y que representa los valores de la variable independiente x, verá que la flecha azul, que representa la variable dependiente y, se mueve concomitantemente en el eje vertical de acuerdo a la regla establecida por la función . Por ejemplo, si el lector muevelentamente la flecha naranja desde a hasta b, verá primero que la flecha azul sube hasta alcanzar un punto máximo en el eje y, luego desciende poco a poco hasta llegar a un valor mínimo. Por último vuelve a subir hasta llegar al valor que la función le asocia a b, es decir, hasta llegar a .

Límite por la derecha

Considere el lector la función que aparece representada a la izquierda de este texto. Observe que la función está definida sobre el intervalo abierto . En particular no está definida para , lo cual está indicado en la gráfica por un pequeño círculo azul con relleno blanco situado al extremo izquierdo de la curva, justo sobre el valor .

Así pues, no podemos decir cuánto vale la función en el punto a. Sin embargo, podemos observar que cuando nos acercamos por la derecha con las x al valor a, los valores de la función se van acercando a L. Esto puede apreciarse fácilmente en la gráfica interactiva de la izquierda. Pruebe el lector acercando lentamente la flecha naranja hacia a por la derecha y verá que la flecha azul termina acercándose a L. En realidad, se debe procurar llegar a la siguiente situación:

Entre más se acerque la flecha naranja al valor a, más se acercará la flecha azul al valor L o dicho con mayor precisión:

Podemos hacer que los valores de la variable y se acerquen al valor L tanto como queramos, haciendo que la variable x se acerque por la derecha cada vez más al valor a.

Este hecho es de gran importancia para las matemáticas y se expresa formalmente así:

.

La lectura de esta expresión matemática es la siguiente “límite de cuando xtiende a a por la derecha es igual a L” o también “límite cuando x tiende a a por la derecha de es igual a L”. El pequeño signo “+” que se usa como exponente de asirve para indicar que el límite es por la derecha.

Existe otra forma de expresarlo matemáticamente. Se escribe: “si entonces ” y esta expresión se lee: “si x tiende a a por la derecha, entonces tiende a L”.

Por último observe el lector que cuando la flecha naranja se dirige hacia a por el lado derecho, aparece encima de ella el signo “+”. Además si la flecha naranja se aleja por la derecha del valor a entonces su color se empalidece de la misma manera que cuando señala a un punto exterior al dominio de la función.

Límite por la izquierda

El concepto de límite por la izquierda es completamente similar al límite por la derecha, solo que la variable x se acerca al valor a por la izquierda, es decir, con valores que son

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