Limites Y Funciones

Ejercicio nº 1.-

Calcula:

Solución:

Ejercicio nº 2.-

Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x  0:

Solución:

Calculamos los límites laterales:

Ejercicio nº 3.-

Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:

Solución:

Ejercicio nº 4.-

y representa la información que obtengas:

Solución:

Ejercicio nº 5.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

Solución:

Ejercicio nº 6.-

a) ¿Es continua en x = 2?

b) ¿Y en x  0?

Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

Solución:

a) No es continua en x  2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en ese punto (una asíntota vertical).

b) Sí es continua en x  0.

Ejercicio nº 7.-

Calcula a para que la función fx sea continua en x  1:

Solución:

Ejercicio nº 8.-

Dada la función:

halla sus asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas.

Solución:

Solo tiene una asíntota vertical: x  1

Posición de la curva respecto a la asíntota:

Ejercicio nº 9.-

los resultados obtenidos:

Solución:

Ejercicio nº 10.-

Dada la función:

obtenidos.

Solución:

Ejercicio nº 11.-

representa los resultados que obtengas:

Solución:

Con calculadora podemos comprobar que:

asíntota y  2.

asíntota y  2.

Ejercicio nº 12.-

a) La siguiente función, ¿tiene una asíntota horizontal o una asíntota oblicua?

b) Halla la asíntota horizontal u oblicua) y representa la posición de la curva respecto a ella.

Solución:

a) Como el grado del numerador es una unidad más que el grado del denominador, la función tiene una asíntota oblicua.

• Representación:

Ejercicio nº 13.-

Estudia la continuidad de la función:

Solución:

semirrecta x < 1. Luego f x es discontinua en x  2.

En los otros dos tramos, hay una función cuadrática y una función constante, ambas continuas en todo .

Estudiamos la continuidad de los puntos de ruptura:

• x  1:

• x  2:

La función f x es continua en x  2.

Luego fx es continua en todo  excepto en x  2 y x  1.

Ejercicio nº 14-

Calcula estos límites:

Solución:

Ejercicio nº 15.-

Halla los límites:

Solución:

Ejercicio nº 16.-

Calcula los siguientes límites:

Solución:

Ejercicio nº 17.-

Halla el valor del siguiente límite:

Solución:

Hallamos los límites laterales:

Ejercicio nº 18.-

Calcula el límite:

Solución:

Ejercicio nº 19.-

Estudia la continuidad de la siguiente función. En los puntos en los que no sea continua, indica el tipo de discontinuidad que presenta:

Solución:

• Dominio    {5, 2}

f (x) es continua en   {5, 2}.

• Veamos el tipo de discontinuidad que presenta en x  5 y en x  2:

Discontinuidad de salto infinito en x  5.

Discontinuidad evitable en x  2.

Ejercicio nº 20.-

Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea continua:

Solución:

• Dominio  

• Si x  1 y x  2  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

• En x  1:

Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser:

3  a  2  b  a  2a  b  1

• En x  2:

Para que f (x) sea continua en x  2, ha de ser:

8  2b  a  7  a  2b  1

• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que:

...