Limites De Una Función.

Definición formal.

Funciones de variable real.

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo \varepsilon > 0 \; existe un \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Esto, escrito en notación formal:

\begin{array}{l}

\underset {x\to c}{\lim} \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon

\end{array}

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

No obstante, hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet D:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida como:

D(x) = \begin{cases}

c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\

d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\

\end{cases}

donde no existe un número c para el cual exista \lim_{x \to c}f(x)\quad. Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.

Límites laterales[editar · editar código]

El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha):

\lim_{x \to c^+}f(x) = L^+

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

\lim_{x \to c^-}f(x) = L^-

Si los dos límites anteriores son iguales:

\lim_{x \to c^-}f(x) =

\lim_{x \to c^+}f(x) =

L

entonces L se pueden referir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Funciones en espacios métricos[editar · editar código]

Existe otra manera de definir el límite que tiene que ver con el concepto de bolas y entornos:

Supóngase f : (M, dM) → (N, dN) es mapeado entre dos espacios métricos, c es un punto límite de M y L∈N. Se dice que "el límite de f en c es L" y se escribe:

\lim_{x \to c}f(x) = L

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < dM(x, c) < δ, tenemos dN(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f(x) en x = c es L si se cumple que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

si 0 < \left| x - c \right| < \delta , entonces \left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:

x pertenece a la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).

x no es igual a c, pues 0

...